Método de descenso más empinado

Para conocer el algoritmo de optimización, consulte Descenso de gradientes .

En matemáticas, el método de descenso más pronunciado o método del punto de silla es una extensión del método de Laplace para aproximar una integral, donde se deforma una integral de contorno en el plano complejo para pasar cerca de un punto estacionario ( punto de silla ), aproximadamente en la dirección de descenso más pronunciado o fase estacionaria. La aproximación del punto de silla se usa con integrales en el plano complejo, mientras que el método de Laplace se usa con integrales reales.

La integral que se va a estimar suele tener la forma

${\displaystyle \int _{C}f(z)e^{\lambda g(z)}\,dz,}$

donde C es un contorno y λ es grande. Una versión del método de descenso más pronunciado deforma el contorno de integración C en una nueva integración de trayectoria C ′ de modo que se cumplen las siguientes condiciones:

1. C ′ pasa por uno o más ceros de la derivada g ′ ( z ),
2. la parte imaginaria de g ( z ) es constante en C ′ .

El método de descenso más pronunciado fue publicado por primera vez por Debye (1909) , quien lo utilizó para estimar las funciones de Bessel y señaló que ocurrió en la nota inédita de Riemann (1863) sobre las funciones hipergeométricas . El contorno de descenso más pronunciado tiene una propiedad minimax, véase Fedoryuk (2001) . Siegel (1932) describió algunas otras notas inéditas de Riemann, donde utilizó este método para derivar la fórmula de Riemann-Siegel . harvtxt error: no target: CITEREFFedoryuk2001 (help)

Idea básica

El método de descenso más pronunciado es un método para aproximar una integral compleja de la forma

$${\displaystyle I(\lambda )=\int _{C}f(z)e^{\lambda g(z)}\,\mathrm {d} z}$$

para grandes , donde y son funciones analíticas de . Debido a que el integrando es analítico, el contorno se puede deformar en un nuevo contorno sin cambiar la integral. En particular, se busca un nuevo contorno en el que la parte imaginaria sea ​​constante. Luego${\displaystyle \lambda \rightarrow \infty }$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle g(z)}$${\displaystyle z}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C'}$${\displaystyle g(z)={\text{Re}}\{g(z)\}+i\,{\text{Im}}\{g(z)\}}$

$${\displaystyle I(\lambda )=e^{i\lambda {\text{Im}}\{g(z)\}}\int _{C'}f(z)e^{\lambda {\text{Re}}\{g(z)\}}\,\mathrm {d} z,}$$

y la integral restante se puede aproximar con otros métodos como el método de Laplace . ^[1]

Etimología

El método se denomina método de descenso más pronunciado porque, para el análisis , los contornos de fase constante son equivalentes a los contornos de descenso más pronunciados.${\displaystyle g(z)}$

Si es una función analítica de , satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann${\displaystyle g(z)=X(z)+iY(z)}$${\displaystyle z=x+iy}$

$${\displaystyle {\frac {\partial X}{\partial x}}={\frac {\partial Y}{\partial y}}\qquad {\text{and}}\qquad {\frac {\partial X}{\partial y}}=-{\frac {\partial Y}{\partial x}}.}$$

Luego

$${\displaystyle {\frac {\partial X}{\partial x}}{\frac {\partial Y}{\partial x}}+{\frac {\partial X}{\partial y}}{\frac {\partial Y}{\partial y}}=\nabla X\cdot \nabla Y=0,}$$

de modo que los contornos de fase constante también son contornos de descenso más pronunciado.

Una simple estimación ^[2]

Sea f , S  : C ⁿ → C y C ⊂ C ⁿ . Si 

${\displaystyle M=\sup _{x\in C}\Re (S(x))<\infty ,}$

donde denota la parte real, y existe un número real positivo λ ₀ tal que${\displaystyle \Re (\cdot )}$

${\displaystyle \int _{C}\left|f(x)e^{\lambda _{0}S(x)}\right|dx<\infty ,}$

entonces se cumple la siguiente estimación:

${\displaystyle \left|\int _{C}f(x)e^{\lambda S(x)}dx\right|\leqslant {\text{const}}\cdot e^{\lambda M},\qquad \forall \lambda \in \mathbb {R} ,\quad \lambda \geqslant \lambda _{0}.}$

Prueba de la estimación simple:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{C}f(x)e^{\lambda S(x)}dx\right|&\leqslant \int _{C}|f(x)|\left|e^{\lambda S(x)}\right|dx\\&\equiv \int _{C}|f(x)|e^{\lambda M}\left|e^{\lambda _{0}(S(x)-M)}e^{(\lambda -\lambda _{0})(S(x)-M)}\right|dx\\&\leqslant \int _{C}|f(x)|e^{\lambda M}\left|e^{\lambda _{0}(S(x)-M)}\right|dx&&\left|e^{(\lambda -\lambda _{0})(S(x)-M)}\right|\leqslant 1\\&=\underbrace {e^{-\lambda _{0}M}\int _{C}\left|f(x)e^{\lambda _{0}S(x)}\right|dx} _{\text{const}}\cdot e^{\lambda M}.\end{aligned}}}$

El caso de un solo punto silla no degenerado

Nociones básicas y notación

Sea x un vector complejo n- dimensional, y

${\displaystyle S''_{xx}(x)\equiv \left({\frac {\partial ^{2}S(x)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\right),\qquad 1\leqslant i,\,j\leqslant n,}$

denotar la matriz de Hesse para una función S ( x ) . Si

${\displaystyle {\boldsymbol {\varphi }}(x)=(\varphi _{1}(x),\varphi _{2}(x),\ldots ,\varphi _{k}(x))}$

es una función vectorial, entonces su matriz jacobiana se define como

${\displaystyle {\boldsymbol {\varphi }}_{x}'(x)\equiv \left({\frac {\partial \varphi _{i}(x)}{\partial x_{j}}}\right),\qquad 1\leqslant i\leqslant k,\quad 1\leqslant j\leqslant n.}$

Un punto silla no degenerado , z ⁰ ∈ C ⁿ , de una función holomórfica S ( z ) es un punto crítico de la función (es decir, ∇ S ( z ⁰ ) = 0 ) donde la matriz hessiana de la función tiene una determinante (es decir, ).${\displaystyle \det S''_{zz}(z^{0})\neq 0}$

La siguiente es la herramienta principal para construir las asintóticas de integrales en el caso de un punto silla no degenerado:

Lema Morse compleja

El lema Morse para funciones con valores reales se generaliza de la siguiente manera ^[3] para funciones holomórficas : cerca de un punto silla no degenerado z ⁰ de una función holomórfica S ( z ) , existen coordenadas en términos de las cuales S ( z ) - S ( z ⁰ ) es exactamente cuadrática. Para hacer esto preciso, sea S una función holomórfica con dominio W ⊂ C ⁿ , y sea z ⁰ en W un punto silla no degenerado deS , es decir, ∇ S ( z ⁰ ) = 0 y . Entonces existen vecindarios U ⊂ W de z ⁰ y V ⊂ C ⁿ de w = 0 , y una función holomórfica biyectiva φ  : V → U con φ (0) = z ⁰ tal que${\displaystyle \det S''_{zz}(z^{0})\neq 0}$

${\displaystyle \forall w\in V:\qquad S({\boldsymbol {\varphi }}(w))=S(z^{0})+{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}\mu _{j}w_{j}^{2},\quad \det {\boldsymbol {\varphi }}_{w}'(0)=1,}$

Aquí, los μ _j son los valores propios de la matriz .${\displaystyle S_{zz}''(z^{0})}$

Una ilustración del lema Morse complejo

Prueba de lema Morse complejo  -

La siguiente demostración es una generalización directa de la demostración del Lema Morse real , que se puede encontrar en. ^[4] Comenzamos demostrando

Declaración auxiliar. Deje f   : C ⁿ → C sean holomorphic en un entorno del origen y f  (0) = 0 . Entonces, en algún vecindario, existen funciones g _i  : C ⁿ → C tales que  

${\displaystyle f(z)=\sum _{i=1}^{n}z_{i}g_{i}(z),}$

donde cada g _i es holomorfa y

${\displaystyle g_{i}(0)=\left.{\tfrac {\partial f(z)}{\partial z_{i}}}\right|_{z=0}.}$

De la identidad

${\displaystyle f(z)=\int _{0}^{1}{\frac {d}{dt}}f\left(tz_{1},\cdots ,tz_{n}\right)dt=\sum _{i=1}^{n}z_{i}\int _{0}^{1}\left.{\frac {\partial f(z)}{\partial z_{i}}}\right|_{z=(tz_{1},\ldots ,tz_{n})}dt,}$

concluimos que

${\displaystyle g_{i}(z)=\int _{0}^{1}\left.{\frac {\partial f(z)}{\partial z_{i}}}\right|_{z=(tz_{1},\ldots ,tz_{n})}dt}$

y

${\displaystyle g_{i}(0)=\left.{\frac {\partial f(z)}{\partial z_{i}}}\right|_{z=0}.}$

Sin pérdida de generalidad, traducimos el origen a z ⁰ , tal que z ⁰ = 0 y S (0) = 0 . Usando la declaración auxiliar, tenemos

${\displaystyle S(z)=\sum _{i=1}^{n}z_{i}g_{i}(z).}$

Dado que el origen es un punto silla,

${\displaystyle \left.{\frac {\partial S(z)}{\partial z_{i}}}\right|_{z=0}=g_{i}(0)=0,}$

también podemos aplicar la instrucción auxiliar a las funciones g _i ( z ) y obtener

${\displaystyle S(z)=\sum _{i,j=1}^{n}z_{i}z_{j}h_{ij}(z).}$

(1)

Recuerde que una matriz A arbitraria se puede representar como una suma de matrices A ^{( s )} simétricas y A ^{( a )} antisimétricas ,

${\displaystyle A_{ij}=A_{ij}^{(s)}+A_{ij}^{(a)},\qquad A_{ij}^{(s)}={\tfrac {1}{2}}\left(A_{ij}+A_{ji}\right),\qquad A_{ij}^{(a)}={\tfrac {1}{2}}\left(A_{ij}-A_{ji}\right).}$

La contracción de cualquier matriz simétrica B con una matriz arbitraria A es

${\displaystyle \sum _{i,j}B_{ij}A_{ij}=\sum _{i,j}B_{ij}A_{ij}^{(s)},}$

(2)

es decir, el componente antisimétrico de A no contribuye porque

${\displaystyle \sum _{i,j}B_{ij}C_{ij}=\sum _{i,j}B_{ji}C_{ji}=-\sum _{i,j}B_{ij}C_{ij}=0.}$

Por tanto, se puede suponer que h _ij ( z ) en la ecuación (1) es simétrica con respecto al intercambio de los índices i y j . Tenga en cuenta que

${\displaystyle \left.{\frac {\partial ^{2}S(z)}{\partial z_{i}\partial z_{j}}}\right|_{z=0}=2h_{ij}(0);}$

por tanto, det ( h _ij (0)) ≠ 0 porque el origen es un punto silla no degenerado.

Demostremos por inducción que existen coordenadas locales u = ( u ₁ , ... u _n ), z = ψ ( u ), 0 = ψ (0) , tales que

${\displaystyle S({\boldsymbol {\psi }}(u))=\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}.}$

(3)

Primero, suponga que existen coordenadas locales y = ( y ₁ , ... y _n ), z = φ ( y ), 0 = φ (0) , tales que

${\displaystyle S({\boldsymbol {\phi }}(y))=y_{1}^{2}+\cdots +y_{r-1}^{2}+\sum _{i,j=r}^{n}y_{i}y_{j}H_{ij}(y),}$

(4)

donde H _ij es simétrico debido a la ecuación (2). Mediante un cambio lineal de las variables ( y _r , ... y _n ) , podemos asegurar que H _rr (0) ≠ 0 . De la regla de la cadena , tenemos

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}S({\boldsymbol {\phi }}(y))}{\partial y_{i}\partial y_{j}}}=\sum _{l,k=1}^{n}\left.{\frac {\partial ^{2}S(z)}{\partial z_{k}\partial z_{l}}}\right|_{z={\boldsymbol {\phi }}(y)}{\frac {\partial \phi _{k}}{\partial y_{i}}}{\frac {\partial \phi _{l}}{\partial y_{j}}}+\sum _{k=1}^{n}\left.{\frac {\partial S(z)}{\partial z_{k}}}\right|_{z={\boldsymbol {\phi }}(y)}{\frac {\partial ^{2}\phi _{k}}{\partial y_{i}\partial y_{j}}}}$

Por lo tanto:

${\displaystyle S''_{yy}({\boldsymbol {\phi }}(0))={\boldsymbol {\phi }}'_{y}(0)^{T}S''_{zz}(0){\boldsymbol {\phi }}'_{y}(0),\qquad \det {\boldsymbol {\phi }}'_{y}(0)\neq 0;}$

De dónde,

${\displaystyle 0\neq \det S''_{yy}({\boldsymbol {\phi }}(0))=2^{r-1}\det \left(2H_{ij}(0)\right).}$

La matriz ( H _ij (0)) se puede reformular en la forma normal de Jordan : ( H _ij (0)) = LJL ⁻¹ , donde L da la transformación lineal no singular deseada y la diagonal de J contiene valores propios distintos de cero de ( H _ij (0)) . Si H _ij (0) ≠ 0 entonces, debido a la continuidad de H _ij ( y ) , tampoco debe desaparecer en alguna vecindad del origen. Habiendo presentado , escribimos${\displaystyle {\tilde {H}}_{ij}(y)=H_{ij}(y)/H_{rr}(y)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S({\boldsymbol {\varphi }}(y))=&y_{1}^{2}+\cdots +y_{r-1}^{2}+H_{rr}(y)\sum _{i,j=r}^{n}y_{i}y_{j}{\tilde {H}}_{ij}(y)\\=&y_{1}^{2}+\cdots +y_{r-1}^{2}+H_{rr}(y)\left[y_{r}^{2}+2y_{r}\sum _{j=r+1}^{n}y_{j}{\tilde {H}}_{rj}(y)+\sum _{i,j=r+1}^{n}y_{i}y_{j}{\tilde {H}}_{ij}(y)\right]\\=&y_{1}^{2}+\cdots +y_{r-1}^{2}+H_{rr}(y)\left[\left(y_{r}+\sum _{j=r+1}^{n}y_{j}{\tilde {H}}_{rj}(y)\right)^{2}-\left(\sum _{j=r+1}^{n}y_{j}{\tilde {H}}_{rj}(y)\right)^{2}\right]+H_{rr}(y)\sum _{i,j=r+1}^{n}y_{i}y_{j}{\tilde {H}}_{ij}(y)\end{aligned}}}$

Motivados por la última expresión, introducimos nuevas coordenadas z = η ( x ), 0 = η (0),

${\displaystyle x_{r}={\sqrt {H_{rr}(y)}}\left(y_{r}+\sum _{j=r+1}^{n}y_{j}{\tilde {H}}_{rj}(y)\right),\qquad x_{j}=y_{j},\quad \forall j\neq r.}$

El cambio de las variables y ↔ x es localmente invertible ya que el jacobiano correspondiente es distinto de cero,

${\displaystyle \left.{\frac {\partial x_{r}}{\partial y_{k}}}\right|_{y=0}={\sqrt {H_{rr}(0)}}\left[\delta _{r,\,k}+\sum _{j=r+1}^{n}\delta _{j,\,k}{\tilde {H}}_{jr}(0)\right].}$

Por lo tanto,

${\displaystyle S({\boldsymbol {\eta }}(x))={x}_{1}^{2}+\cdots +{x}_{r}^{2}+\sum _{i,j=r+1}^{n}{x}_{i}{x}_{j}W_{ij}(x).}$

(5)

Comparando las ecuaciones (4) y (5), concluimos que la ecuación (3) está verificada. Denotando los valores propios de por μ _j , la ecuación (3) se puede reescribir como${\displaystyle S''_{zz}(0)}$

${\displaystyle S({\boldsymbol {\varphi }}(w))={\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}\mu _{j}w_{j}^{2}.}$

(6)

Por lo tanto,

${\displaystyle S''_{ww}({\boldsymbol {\varphi }}(0))={\boldsymbol {\varphi }}'_{w}(0)^{T}S''_{zz}(0){\boldsymbol {\varphi }}'_{w}(0),}$

(7)

De la ecuación (6), se sigue que . La forma normal de Jordan de lecturas , donde J _z es una matriz diagonal superior que contiene los valores propios y det P ≠ 0 ; por lo tanto, . Obtenemos de la ecuación (7)${\displaystyle \det S''_{ww}({\boldsymbol {\varphi }}(0))=\mu _{1}\cdots \mu _{n}}$${\displaystyle S''_{zz}(0)}$${\displaystyle S''_{zz}(0)=PJ_{z}P^{-1}}$${\displaystyle \det S''_{zz}(0)=\mu _{1}\cdots \mu _{n}}$

${\displaystyle \det S''_{ww}({\boldsymbol {\varphi }}(0))=\left[\det {\boldsymbol {\varphi }}'_{w}(0)\right]^{2}\det S''_{zz}(0)\Longrightarrow \det {\boldsymbol {\varphi }}'_{w}(0)=\pm 1.}$

Si , entonces el intercambio de dos variables asegura eso .${\displaystyle \det {\boldsymbol {\varphi }}'_{w}(0)=-1}$${\displaystyle \det {\boldsymbol {\varphi }}'_{w}(0)=+1}$

La expansión asintótica en el caso de un solo punto silla no degenerado

Asumir

1.  f  ( z ) y S ( z ) son holomorfas funciones en una abierta , delimitada , y simplemente conectado conjunto Ω _x ⊂ C ⁿ tal que el I _x = Ω _x ∩ R ⁿ está conectado ;
2. ${\displaystyle \Re (S(z))}$tiene un solo máximo: para exactamente un punto x ⁰ ∈ I _x ;${\displaystyle \max _{z\in I_{x}}\Re (S(z))=\Re (S(x^{0}))}$
3. x ⁰ es un punto silla no degenerado (es decir, ∇ S ( x ⁰ ) = 0 y).${\displaystyle \det S''_{xx}(x^{0})\neq 0}$

Entonces, la siguiente asintótica sostiene

${\displaystyle I(\lambda )\equiv \int _{I_{x}}f(x)e^{\lambda S(x)}dx=\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)^{\frac {n}{2}}e^{\lambda S(x^{0})}\left(f(x^{0})+O\left(\lambda ^{-1}\right)\right)\prod _{j=1}^{n}(-\mu _{j})^{-{\frac {1}{2}}},\qquad \lambda \to \infty ,}$

(8)

donde μ _j son valores propios del hessiano y se definen con argumentos${\displaystyle S''_{xx}(x^{0})}$${\displaystyle (-\mu _{j})^{-{\frac {1}{2}}}}$

${\displaystyle \left|\arg {\sqrt {-\mu _{j}}}\right|<{\tfrac {\pi }{4}}.}$

(9)

Esta afirmación es un caso especial de resultados más generales presentados en Fedoryuk (1987). ^[5]

Derivación de la ecuación (8)  -

Una ilustración de la derivación de la ecuación (8)

Primero, deformamos el contorno I _x en un nuevo contorno que pasa por el punto de silla x ⁰ y comparte el límite con I _x . Esta deformación no cambia el valor de la integral I ( λ ) . Empleamos el Complex Morse Lemma para cambiar las variables de integración. Según el lema, la función φ ( w ) mapea una vecindad x ⁰ ∈ U ⊂ Ω _x sobre una vecindad Ω _{w que} contiene el origen. La integral I (${\displaystyle I'_{x}\subset \Omega _{x}}$λ ) se puede dividir en dos: I ( λ ) = I ₀ ( λ ) + I ₁ ( λ ) , donde I ₀ ( λ ) es la integral sobre, mientras que I ₁ ( λ ) es superior(es decir, la parte restante del contorno I ′ _x ). Dado que la última región no contiene el punto silla x ⁰ , el valor de I ₁ ( λ ) es exponencialmente menor que I${\displaystyle U\cap I'_{x}}$${\displaystyle I'_{x}\setminus (U\cap I'_{x})}$₀ ( λ ) como λ → ∞ ; ^{[6] por} tanto, I ₁ ( λ ) se ignora. Introduciendo el contorno I _w tal que, tenemos${\displaystyle U\cap I'_{x}={\boldsymbol {\varphi }}(I_{w})}$

${\displaystyle I_{0}(\lambda )=e^{\lambda S(x^{0})}\int _{I_{w}}f[{\boldsymbol {\varphi }}(w)]\exp \left(\lambda \sum _{j=1}^{n}{\tfrac {\mu _{j}}{2}}w_{j}^{2}\right)\left|\det {\boldsymbol {\varphi }}_{w}'(w)\right|dw.}$

(10)

Recordando que x ⁰ = φ (0) así como , expandimos la función preexponencial en una serie de Taylor y mantenemos solo el término inicial de orden cero${\displaystyle \det {\boldsymbol {\varphi }}_{w}'(0)=1}$${\displaystyle f[{\boldsymbol {\varphi }}(w)]}$

${\displaystyle I_{0}(\lambda )\approx f(x^{0})e^{\lambda S(x^{0})}\int _{\mathbf {R} ^{n}}\exp \left(\lambda \sum _{j=1}^{n}{\tfrac {\mu _{j}}{2}}w_{j}^{2}\right)dw=f(x^{0})e^{\lambda S(x^{0})}\prod _{j=1}^{n}\int _{-\infty }^{\infty }e^{{\frac {1}{2}}\lambda \mu _{j}y^{2}}dy.}$

(11)

Aquí, hemos sustituido la región de integración I _w por R ⁿ porque ambos contienen el origen, que es un punto silla, por lo que son iguales hasta un término exponencialmente pequeño. ^[7] Las integrales en el rhs de la ecuación (11) se pueden expresar como

${\displaystyle {\mathcal {I}}_{j}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{{\frac {1}{2}}\lambda \mu _{j}y^{2}}dy=2\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}\lambda \left({\sqrt {-\mu _{j}}}y\right)^{2}}dy=2\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}\lambda \left|{\sqrt {-\mu _{j}}}\right|^{2}y^{2}\exp \left(2i\arg {\sqrt {-\mu _{j}}}\right)}dy.}$

(12)

De esta representación, concluimos que la condición (9) debe cumplirse para que los rhs y lhs de la ecuación (12) coincidan. Según el supuesto 2, es una forma cuadrática definida negativamente (es decir, ) que implica la existencia de la integral , que se calcula fácilmente${\displaystyle \Re \left(S_{xx}''(x^{0})\right)}$${\displaystyle \Re (\mu _{j})<0}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{j}}$

${\displaystyle {\mathcal {I}}_{j}={\frac {2}{{\sqrt {-\mu _{j}}}{\sqrt {\lambda }}}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {\xi ^{2}}{2}}}d\xi ={\sqrt {\frac {2\pi }{\lambda }}}(-\mu _{j})^{-{\frac {1}{2}}}.}$

La ecuación (8) también se puede escribir como

${\displaystyle I(\lambda )=\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)^{\frac {n}{2}}e^{\lambda S(x^{0})}\left(\det(-S_{xx}''(x^{0}))\right)^{-{\frac {1}{2}}}\left(f(x^{0})+O\left(\lambda ^{-1}\right)\right),}$

(13)

donde la rama de

${\displaystyle {\sqrt {\det \left(-S_{xx}''(x^{0})\right)}}}$

se selecciona de la siguiente manera

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\det \left(-S_{xx}''(x^{0})\right)\right)^{-{\frac {1}{2}}}&=\exp \left(-i{\text{ Ind}}\left(-S_{xx}''(x^{0})\right)\right)\prod _{j=1}^{n}\left|\mu _{j}\right|^{-{\frac {1}{2}}},\\{\text{Ind}}\left(-S_{xx}''(x^{0})\right)&={\tfrac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}\arg(-\mu _{j}),&&|\arg(-\mu _{j})|<{\tfrac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

Considere casos especiales importantes:

• Si S ( x ) tiene un valor real para x real y x ⁰ en R ⁿ (también conocido como el método multidimensional de Laplace ), entonces ^[8]

${\displaystyle {\text{Ind}}\left(-S_{xx}''(x^{0})\right)=0.}$

• Si S ( x ) es puramente imaginario para x real (es decir, para todo x en R ⁿ ) y x ⁰ en R ⁿ (también conocido como el método de fase estacionaria multidimensional ), ^[9] entonces ^[10]${\displaystyle \Re (S(x))=0}$

${\displaystyle {\text{Ind}}\left(-S_{xx}''(x^{0})\right)={\frac {\pi }{4}}{\text{sign }}S_{xx}''(x_{0}),}$

donde denota la firma de la matriz , que equivale al número de valores propios negativos menos el número de positivos. Es de notar que en aplicaciones del método de fase estacionaria a la aproximación multidimensional WKB en mecánica cuántica (así como en óptica), Ind está relacionado con el índice de Maslov ver, por ejemplo, Chaichian & Demichev (2001) y Schulman (2005) .${\displaystyle {\text{sign }}S_{xx}''(x_{0})}$ ${\displaystyle S_{xx}''(x_{0})}$

El caso de múltiples puntos silla no degenerados

Si la función S ( x ) tiene múltiples puntos silla aislados no degenerados, es decir,

${\displaystyle \nabla S\left(x^{(k)}\right)=0,\quad \det S''_{xx}\left(x^{(k)}\right)\neq 0,\quad x^{(k)}\in \Omega _{x}^{(k)},}$

donde

${\displaystyle \left\{\Omega _{x}^{(k)}\right\}_{k=1}^{K}}$

es una cubierta abierta de Ω _x , entonces el cálculo de la asintótica integral se reduce al caso de un solo punto silla empleando la partición de la unidad . La partición de unidad nos permite construir un conjunto de funciones continuas ρ _k ( x ): Ω _x → [0, 1], 1 ≤ k ≤ K , tal que

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{K}\rho _{k}(x)&=1,&&\forall x\in \Omega _{x},\\\rho _{k}(x)&=0&&\forall x\in \Omega _{x}\setminus \Omega _{x}^{(k)}.\end{aligned}}}$

De dónde,

${\displaystyle \int _{I_{x}\subset \Omega _{x}}f(x)e^{\lambda S(x)}dx\equiv \sum _{k=1}^{K}\int _{I_{x}\subset \Omega _{x}}\rho _{k}(x)f(x)e^{\lambda S(x)}dx.}$

Por tanto, como λ → ∞ tenemos:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{K}\int _{{\text{a neighborhood of }}x^{(k)}}f(x)e^{\lambda S(x)}dx=\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)^{\frac {n}{2}}\sum _{k=1}^{K}e^{\lambda S\left(x^{(k)}\right)}\left(\det \left(-S_{xx}''\left(x^{(k)}\right)\right)\right)^{-{\frac {1}{2}}}f\left(x^{(k)}\right),}$

donde se utilizó la ecuación (13) en la última etapa, y la función preexponencial f  ( x ) al menos debe ser continua. 

Los otros casos

Cuando ∇ S ( z ⁰ ) = 0 y , el punto z ⁰ ∈ C ⁿ se llama un punto silla degenerado de una función S ( z ) .${\displaystyle \det S''_{zz}(z^{0})=0}$

Calcular la asintótica de

${\displaystyle \int f(x)e^{\lambda S(x)}dx,}$

cuando λ → ∞,   f  ( x ) es continua, y S ( z ) tiene un punto silla degenerado, es un problema muy rico, cuya solución se basa en gran medida en la teoría de la catástrofe . Aquí, la teoría de la catástrofe reemplaza el lema de Morse , válido solo en el caso no degenerado, para transformar la función S ( z ) en una de la multitud de representaciones canónicas. Para más detalles, ver, por ejemplo, Poston y Stewart (1978) y Fedoryuk (1987) .

Las integrales con puntos de silla degenerados aparecen naturalmente en muchas aplicaciones, incluida la cáustica óptica y la aproximación WKB multidimensional en mecánica cuántica.

Los otros casos como, por ejemplo, f  ( x ) y / o S ( x ) son discontinuos o cuando un extremo de S ( x ) se encuentra en el límite de la región de integración, requieren especial cuidado (ver, por ejemplo, Fedoryuk (1987) y Wong (1989) ). 

Extensiones y generalizaciones

Una extensión del método de descenso más empinado es el llamado método de fase estacionaria no lineal / descenso más empinado . Aquí, en lugar de integrales, es necesario evaluar asintóticamente las soluciones de los problemas de factorización de Riemann-Hilbert .

Dado un contorno C en la esfera compleja , una función f definida en ese contorno y un punto especial, digamos infinito, se busca una función M holomórfica alejada del contorno C , con un salto prescrito a través de C , y con una normalización dada en el infinito. Si fy, por tanto, M son matrices en lugar de escalares, este es un problema que en general no admite una solución explícita.

Entonces es posible una evaluación asintótica a lo largo de las líneas del método de fase estacionaria lineal / descenso más pronunciado. La idea es reducir asintóticamente la solución del problema de Riemann-Hilbert dado a la de un problema de Riemann-Hilbert más simple y explícitamente resuelto. El teorema de Cauchy se utiliza para justificar las deformaciones del contorno del salto.

La fase estacionaria no lineal fue introducida por Deift y Zhou en 1993, basándose en un trabajo anterior del matemático ruso Alexander Its. Kamvissis, K. McLaughlin y P. Miller introdujeron un método de descenso más empinado no lineal (hablando con propiedad) en 2003, basado en trabajos anteriores de Lax, Levermore, Deift, Venakides y Zhou. Como en el caso lineal, los contornos de descenso más empinados resuelven un problema de mínimo-máximo. En el caso no lineal, resultan ser "curvas en S" (definidas en un contexto diferente en los años 80 por Stahl, Gonchar y Rakhmanov).

El método de fase estacionaria no lineal / descenso más empinado tiene aplicaciones a la teoría de ecuaciones de solitones y modelos integrables , matrices aleatorias y combinatoria .

Ver también

• Integral de Pearcey
• Aproximación de fase estacionaria
• El método de Laplace

Notas

1. Bender, Carl M .; Orszag, Steven A. (1999). Métodos matemáticos avanzados para Científicos e Ingenieros I . Nueva York, NY: Springer New York. doi : 10.1007 / 978-1-4757-3069-2 . ISBN 978-1-4419-3187-0.
2. Una versión modificada de Lemma 2.1.1 en la página 56 en Fedoryuk (1987) .
3. Lema 3.3.2 en la página 113 en Fedoryuk (1987)
4. Poston y Stewart (1978) , página 54; véase también el comentario de la página 479 en Wong (1989) .
5. Fedoryuk (1987) , páginas 417-420.
6. Esta conclusión se deriva de una comparación entre la asintótica final para I ₀ ( λ ) , dada por la ecuación (8), y una estimación simple para la integral descartada I ₁ ( λ ) .
7. Esto se justifica comparando la integral asintótica sobre R ⁿ [ver ecuación (8)] con una estimación simple para la parte alterada.
8. Ver ecuación (4.4.9) en la página 125 en Fedoryuk (1987)
9. Hablando rigurosamente, este caso no puede inferirse de la ecuación (8) porquese viola el segundo supuesto , utilizado en la derivación. Para incluir el caso discutido de una función de fase puramente imaginaria, la condición (9) debe ser reemplazada por${\displaystyle \left|\arg {\sqrt {-\mu _{j}}}\right|\leqslant {\tfrac {\pi }{4}}.}$
10. Ver ecuación (2.2.6 ') en la página 186 en Fedoryuk (1987)

Referencias

• Chaichian, M .; Demichev, A. (2001), Path Integrals in Physics Volume 1: Stochastic Process and Quantum Mechanics , Taylor & Francis, p. 174, ISBN 075030801X
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