Hiperfunción

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En matemáticas , las hiperfunciones son generalizaciones de funciones, como un "salto" de una función holomorfa a otra en un límite, y pueden considerarse informalmente como distribuciones de orden infinito. Las hiperfunciones fueron introducidas por Mikio Sato en 1958 en japonés ( 1959 , 1960 en inglés), basándose en trabajos anteriores de Laurent Schwartz , Grothendieck y otros.

Una hiperfunción en la línea real puede concebirse como la 'diferencia' entre una función holomorfa definida en el semiplano superior y otra en el semiplano inferior. Es decir, una hiperfunción se especifica mediante un par ( f ,  g ), donde f es una función holomorfa en el semiplano superior y g es una función holomorfa en el semiplano inferior.

Informalmente, la hiperfunción es lo que sería la diferencia en la línea real misma. Esta diferencia no se ve afectada al agregar la misma función holomorfa tanto a f como a g , por lo que si h es una función holomorfa en todo el plano complejo , las hiperfunciones ( f ,  g ) y ( f  +  h ,  g  +  h ) se definen como equivaler.${\ estilo de visualización fg}$

La motivación se puede implementar concretamente utilizando ideas de la cohomología de la gavilla . Sea el haz de funciones holomorfas en Defina las hiperfunciones en la recta real como el primer grupo de cohomología local :${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\ estilo de visualización \ mathbb {C} .}$

Concretamente, sean y el semiplano superior y el semiplano inferior respectivamente. entonces asi${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {+}}$${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {-}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{+}\cup \mathbb {C} ^{-}=\mathbb {C} \setminus \mathbb {R} }$

Dado que el grupo de cohomología cero de cualquier haz es simplemente las secciones globales de ese haz, vemos que una hiperfunción es un par de funciones holomorfas, una en el semiplano complejo superior e inferior módulo funciones holomorfas enteras.

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