Semiplano superior

En matemáticas , el semiplano superior , es el conjunto de puntos $($ $x$ $,$ $Y$ $)$ en el plano cartesiano con $y$ > 0. ${\ Displaystyle \, {\ mathcal {H}} \ ,,}$

Los matemáticos a veces identifican el plano cartesiano con el plano complejo , y luego el semiplano superior corresponde al conjunto de números complejos con parte imaginaria positiva :

El término surge de una visualización común del número complejo $x + iy$ como el punto $(x, y)$ en el plano dotado de coordenadas cartesianas . Cuando el eje $y$ está orientado verticalmente, el " semiplano superior " corresponde a la región por encima del eje $x$ y, por lo tanto, a los números complejos para los que $y$ > 0.

Es el dominio de muchas funciones de interés en el análisis complejo , especialmente las formas modulares . El semiplano inferior, definido por $y$ <0, es igualmente bueno, pero menos utilizado por convención. El disco unitario abierto (el conjunto de todos los números complejos de valor absoluto menor que uno) es equivalente por un mapeo conforme a (ver " Métrica de Poincaré "), lo que significa que generalmente es posible pasar entre y ${\ Displaystyle \, {\ mathcal {D}} \,}$ ${\ Displaystyle \, {\ mathcal {H}} \,}$ ${\ Displaystyle \, {\ mathcal {H}} \,}$ ${\ Displaystyle \, {\ mathcal {D}} \ ;.}$

También juega un papel importante en la geometría hiperbólica , donde el modelo de semiplano de Poincaré proporciona una forma de examinar los movimientos hiperbólicos . La métrica de Poincaré proporciona una métrica hiperbólica en el espacio.

El teorema de uniformización para superficies establece que el semiplano superior es el espacio de cobertura universal de superficies con curvatura gaussiana negativa constante .