En geometría algebraica , la cohomología local es un análogo algebraico de la cohomología relativa . Alexander Grothendieck lo introdujo en seminarios en Harvard en 1961 redactados por Hartshorne (1967) , y en 1961-2 en IHES redactado como SGA2 - Grothendieck (1968) , reeditado como Grothendieck (2005) . Dada una función (más generalmente, una sección de una gavilla cuasicoherente ) definida en un subconjunto abierto de una variedad (o esquema ) algebraica , la cohomología local mide la obstrucción para extender esa función a un dominio más grande.. La función racional , por ejemplo, se define sólo en el complemento de en la línea afín sobre un campo y no se puede extender a una función en todo el espacio. El módulo de cohomología local (dónde es el anillo de coordenadas de) detecta esto en la no desaparición de una clase de cohomología . De forma similar, se define lejos de la y ejes en el plano afín , pero no puede extenderse al complemento del-eje o el complemento del -eje solo (ni puede expresarse como una suma de tales funciones); esta obstrucción corresponde precisamente a una clase distinta de cero en el módulo de cohomología local . [1]
Fuera de la geometría algebraica, la cohomología local ha encontrado aplicaciones en álgebra conmutativa , [2] [3] [4] combinatoria , [5] [6] [7] y ciertos tipos de ecuaciones diferenciales parciales . [8]
Definición
En la forma geométrica más general de la teoría, las secciones son considerados de una gavilla de grupos abelianos , en un espacio topológico , con soporte en un subconjunto cerrado , Los functores derivados deformar grupos de cohomología locales
En la forma algebraica de la teoría, el espacio X es el espectro Spec ( R ) de un anillo conmutativo R (que se supone noetheriano a lo largo de este artículo) y el haz F es el haz cuasicoherente asociado a un R - módulo M , denotado por. El subesquema cerrado Y se define por una ideales I . En esta situación, el funtor Γ Y ( F ) corresponde al functor de torsión I , una unión de aniquiladores
es decir, los elementos de M que son aniquilados por un poder de I . Como functor derivado derecho , el i- ésimo módulo de cohomología local con respecto a I es el i- ésimo grupo de cohomología del complejo de la cadena obtenido al tomar la parte I- torsiónde una resolución inyectiva del módulo . [9] Porqueconsta de módulos R y homomorfismos de módulo R , cada grupo de cohomología local tiene la estructura natural de un módulo R.
La parte I- torsión alternativamente puede describirse como
y por esta razón, la cohomología local de un módulo R M concuerda [10] con un límite directo de módulos Ext ,
De cualquiera de estas definiciones se desprende que no cambiaría si fueron reemplazados por otro ideal que tenía el mismo radical . [11] También se deduce que la cohomología local no depende de ninguna elección de generadores para I , un hecho que se vuelve relevante en la siguiente definición que involucra al complejo Čech.
Uso de complejos Koszul y Čech
La definición de functor derivado de cohomología local requiere una resolución inyectiva del módulo, lo que puede hacer que sea inaccesible para su uso en cálculos explícitos. El complejo Čech se considera más práctico en determinados contextos. Iyengar y col. (2007) , por ejemplo, afirman que "esencialmente ignoran" el "problema de producir realmente cualquiera de estos tipos [inyectivos] de resoluciones para un módulo dado" [12] antes de presentar la definición compleja de Čech de cohomología local, y Hartshorne (1977) describe la cohomología Čech como "dar un método práctico para calcular la cohomología de haces cuasi coherentes en un esquema". [13] y por ser "muy adecuado para los cálculos". [14]
El complejo Čech se puede definir como un colimit de complejos Koszul dónde generar . Los módulos de cohomología local pueden describirse [15] como:
Los complejos de Koszul tienen la propiedad de que la multiplicación por induce un morfismo complejo en cadena que es homotópico a cero, [16] lo que significa es aniquilado por el . Un mapa distinto de cero en el colimit del Los conjuntos contienen mapas de todos los complejos de Koszul, excepto un número finito, y que no son aniquilados por algún elemento del ideal.
Este colimit de complejos de Koszul es isomorfo a [17] el complejo de Čech , denotado, debajo.
donde el i- ésimo módulo de cohomología local de con respecto a es isomorfo a [18] el i- ésimo grupo de cohomología del complejo de cadena anterior ,
El tema más amplio de computar módulos de cohomología local (en característica cero ) se discute en Leykin (2002) e Iyengar et al. (2007 , Conferencia 23).
Propiedades básicas
Dado que la cohomología local se define como functor derivado , para cualquier secuencia corta exacta de módulos R, hay, por definición, una secuencia natural larga exacta en la cohomología local
También hay una secuencia larga y exacta de cohomología de gavillas que vincula la cohomología de gavilla ordinaria de X y del conjunto abierto U = X \ Y , con los módulos de cohomología local. Para una gavilla cuasicoherente F definida en X , esta tiene la forma
En el escenario donde X es un esquema afín e Y es el conjunto que se desvanece de un ideal I , los grupos de cohomología desaparecer para . [19] Si, esto conduce a una secuencia exacta
donde el mapa del medio es la restricción de secciones. El objetivo de este mapa de restricción también se conoce como la transformación ideal . Para n ≥ 1, hay isomorfismos
Debido al isomorfismo anterior con la cohomología de gavilla , la cohomología local se puede utilizar para expresar una serie de construcciones topológicas significativas en el esquema.en términos puramente algebraicos. Por ejemplo, existe un análogo natural en la cohomología local de la secuencia de Mayer-Vietoris con respecto a un par de conjuntos abiertos U y V en X , dado por los complementos de los subesquemas cerrados correspondientes a un par de ideales I y J , respectivamente. . [20] Esta secuencia tiene la forma
para cualquier -módulo .
La desaparición de la cohomología local se puede utilizar para acotar el menor número de ecuaciones (denominado rango aritmético ) necesarias para (establecer teóricamente) definir el conjunto algebraico. en . Si tiene el mismo radical que , y es generado por elementos, luego el complejo Čech en los generadores de no tiene términos en grado . El menor número de generadores entre todos los ideales tal que es el rango aritmético de , denotado . [21] Dado que la cohomología local con respecto a puede calcularse utilizando cualquier ideal de este tipo, se sigue que por . [22]
Cohomología local graduada y geometría proyectiva
Cuándo es calificado por, es generado por elementos homogéneos, y es un módulo calificado, hay una calificación natural en el módulo de cohomología local que sea compatible con las graduaciones de y . [23] Todas las propiedades básicas de la cohomología local expresadas en este artículo son compatibles con la estructura graduada. [24] Si se genera de forma finita y es el ideal generado por los elementos de teniendo un grado positivo, entonces los componentes graduados se generan finitamente sobre y desaparecer para lo suficientemente grande . [25]
El caso donde Es el ideal generado por todos los elementos de grado positivo (a veces llamado el ideal irrelevante ) es particularmente especial, debido a su relación con la geometría proyectiva. [26] En este caso, hay un isomorfismo
dónde es el esquema proyectivo asociado a, y denota el giro de Serre . Este isomorfismo se clasifica, dando
en todos los grados . [27]
Este isomorfismo relaciona la cohomología local con la cohomología global de esquemas proyectivos . Por ejemplo, la regularidad Castelnuovo-Mumford se puede formular utilizando la cohomología local [28] como
dónde denota el grado más alto tal que . La cohomología local se puede utilizar para probar ciertos resultados de límite superior con respecto a la regularidad. [29]
Ejemplos de
Cohomología local superior
Usando el complejo Čech, si el módulo de cohomología local se genera sobre por las imágenes de las fracciones formales
por y . [30] Esta fracción corresponde a un elemento distinto de cero de si y solo si no hay tal que . [31] Por ejemplo, si, luego
- Si es un campo yes un anillo polinomial sobre en variables, luego el módulo de cohomología local puede considerarse como un espacio vectorial sobrecon base dada por (las clases de cohomología Čech de) los monomios inversos por . [32] Como-módulo, multiplicación por baja por 1, sujeto a la condición Porque los poderes no se puede aumentar multiplicando con elementos de , el módulo no se genera de forma finita .
Ejemplos de H 1
Si es conocido (donde ), el módulo a veces se puede calcular explícitamente usando la secuencia
En los siguientes ejemplos, es cualquier campo .
- Si y , luego y como un espacio vectorial sobre , el primer módulo de cohomología local es , un 1-dimensional espacio vectorial generado por . [33]
- Si y , luego y , entonces es una dimensión infinita espacio vectorial con base [34]
Relación con invariantes de módulos
La dimensión dim R (M) de un módulo (definida como la dimensión Krull de su soporte) proporciona un límite superior para los módulos de cohomología local: [35]
Si R es local y M finitamente generado , entonces este límite es agudo, es decir,.
La profundidad (definida como la longitud máxima de una secuencia M regular ; también conocida como el grado de M ) proporciona un límite inferior agudo, es decir, es el número entero más pequeño n tal que [36]
Estos dos límites juntos producen una caracterización de los módulos Cohen-Macaulay sobre anillos locales: son precisamente aquellos módulos dondedesaparece para todos menos uno n .
Dualidad local
El teorema de la dualidad local es un análogo local de la dualidad de Serre . Para un anillo local Cohen-Macaulay de dimensión que es una imagen homomórfica de un anillo local de Gorenstein [37] (por ejemplo, siestá completo [38] ), establece que el emparejamiento natural
es un maridaje perfecto , dondees un módulo dualizador para. [39] En términos del funtor de dualidad de Matlis , el teorema de la dualidad local puede expresarse como el siguiente isomorfismo. [40]
La afirmación es más simple cuando , que es equivalente [41] a la hipótesis de quees Gorenstein . Este es el caso, por ejemplo, sies regular .
Aplicaciones
Las aplicaciones iniciales fueron análogos de los teoremas del hiperplano de Lefschetz . En general, tales teoremas establecen que la homología o cohomología se apoya en una sección de hiperplano de una variedad algebraica , excepto por alguna "pérdida" que se puede controlar. Estos resultados se aplicaron al grupo fundamental algebraico y al grupo Picard .
Otro tipo de aplicación son los teoremas de conexión como el teorema de conexión de Grothendieck (un análogo local del teorema de Bertini ) o el teorema de conexión de Fulton-Hansen debido a Fulton y Hansen (1979) y Faltings (1979) . Este último afirma que para dos variedades proyectivas V y W en P r sobre un campo algebraicamente cerrado , la dimensión de conectividad de Z = V ∩ W (es decir, la dimensión mínima de un subconjunto cerrado T de Z que debe eliminarse de Z por lo que que el complemento Z \ T está desconectado ) está limitado por
- c ( Z ) ≥ atenuar V + atenuar W - r - 1.
Por ejemplo, Z está conectado si dim V + dim W > r . [42]
En geometría poliédrica, un ingrediente clave de la prueba de Stanley de 1975 de la forma simplicial del teorema del límite superior de McMullen implica mostrar que el anillo de Stanley-Reisner del complejo simplicial correspondiente es Cohen-Macaulay , y la cohomología local es una herramienta importante en este cálculo, a través de Fórmula de Hochster. [43] [44] [45]
Ver también
- Homología local : proporciona un análogo topológico y el cálculo de la homología local del cono de un espacio.
Notas
- ^ Hartshorne (1977 , ejercicio 4.3)
- ↑ Eisenbud (2005 , Capítulo 4, Regularidad Castelnuovo-Mumford)
- ^ Brodmann y Sharp (1998 , Capítulo 17, Polinomios de Hilbert)
- ^ Brodmann & Sharp (1998 , Capítulo 18, Aplicaciones a la reducción de ideales)
- ^ Huang (2002 , Capítulo 10, Métodos de residuos en análisis combinatorio)
- ^ Stanley, Richard (1996). Álgebra combinatoria y conmutativa . Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc. pág. 164. ISBN 0-8176-3836-9.
- ^ Iyengar y col. (2007 , Conferencia 16, Geometría poliédrica)
- ^ Iyengar y col. (2007 , Conferencia 24, Rango holonómico y sistemas hipergeométricos)
- ^ Brodmann y Sharp (1998 , 1.2.2)
- ^ Brodmann y col.
- ^ Brodmann y Sharp (1998 , Observación 1.2.3)
- ^ Iyengar y col. (2007)
- ^ Hartshorne (1977 , págs. 218)
- ^ Hartshorne, 1977 y págs. 219
- ^ Brodmann y Sharp (1998 , Teorema 5.2.9)
- ^ "Lema 15.28.6 (0663) —El proyecto Stacks" . stacks.math.columbia.edu . Consultado el 1 de mayo de 2020 .
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- ^ Brodmann y col.
- ↑ Hartshorne (1977 , Teorema 3.7)
- ^ Brodmann y Sharp (1998 , Teorema 3.2.3)
- ^ Brodmann y Sharp (1998 , definición 3.3.2)
- ^ Brodmann y Sharp (1998 , Observación 5.1.20)
- ^ Brodmann y Sharp (1998 , Corolario 12.3.3)
- ^ Brodmann y Sharp (1998 , Capítulo 13)
- ^ Brodmann y Sharp (1998 , Proposición 15.1.5)
- ↑ Eisenbud (1995 , §A.4)
- ^ Brodmann y Sharp (1998 , Teorema 20.4.4)
- ^ Brodmann y Sharp (1998 , Definición 15.2.9)
- ^ Brodmann y Sharp (1998 , Capítulo 16)
- ^ Iyengar y col. (2007 , Corolario 7.14)
- ^ Brodmann y Sharp (1998 , ejercicio 5.1.21)
- ^ Iyengar y col. (2007 , ejercicio 7.16)
- ^ Brodmann y Sharp (1998 , ejercicio 2.3.6 (v))
- ^ Eisenbud (2005 , ejemplo A1.10)
- ^ Brodmann y Sharp (1998 , Teorema 6.1.2)
- ↑ Hartshorne (1967 , Teorema 3.8), Brodmann & Sharp (1998 , Teorema 6.2.7), M se genera de manera finita, IM ≠ M
- ^ Bruns y Herzog (1998 , Teorema 3.3.6)
- ^ Bruns y Herzog (1998 , Corolario 3.3.8)
- ↑ Hartshorne (1967 , Teorema 6.7)
- ^ Brodmann y Sharp (1998 , Teorema 11.2.8)
- ^ Bruns y Herzog (1998 , Teorema 3.3.7)
- ^ Brodman y Sharp (1998 , §19.6)
- ^ Stanley, Richard (2014). "Cómo se demostró la conjetura del límite superior". Annals of Combinatorics . 18 . págs. 533–539.
- ^ Stanley, Richard (1996). Álgebra combinatoria y conmutativa . Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc. pág. 164. ISBN 0-8176-3836-9.
- ^ Iyengar y col. (2007 , Conferencia 16)
Referencia introductoria
- Huneke, Craig; Taylor, Amelia, conferencias sobre cohomología local
Referencias
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