Norma de Schatten

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En matemáticas , específicamente análisis funcional , la norma de Schatten (o norma de Schatten-von-Neumann ) surge como una generalización de p -integrabilidad similar a la norma de clase de trazas y la norma de Hilbert-Schmidt .

Deje , ser espacios de Hilbert, y un (lineal) de operador acotado a . Para , defina la p-norma de Schatten de como${\ Displaystyle H_ {1}}$${\ Displaystyle H_ {2}}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle H_ {1}}$${\ Displaystyle H_ {2}}$${\ Displaystyle p \ in [1, \ infty)}$${\ Displaystyle T}$

Si es compacto y separable, entonces${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle H_ {1}, \, H_ {2}}$

para los valores singulares de , es decir, los valores propios del operador hermitiano .${\displaystyle s_{1}(T)\geq s_{2}(T)\geq \cdots s_{n}(T)\geq \cdots \geq 0}$${\displaystyle T}$${\displaystyle |T|:={\sqrt {(T^{*}T)}}}$

A continuación, ampliamos formalmente el rango de to con la convención que es la norma del operador. El índice dual de es entonces .${\displaystyle p}$${\displaystyle [1,\infty ]}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$${\displaystyle p=\infty }$${\displaystyle q=1}$

(Para matrices, esto se puede generalizar a para . ^[1] )${\displaystyle \|ST\|_{r}\leq \|S\|_{p}\|T\|_{q}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{r}}={\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}}$

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