Clase de seguimiento

En matemáticas , un operador de clase de traza es un operador compacto para el que se puede definir una traza , de modo que la traza es finita e independiente de la elección de la base. Los operadores de clase de rastreo son esencialmente los mismos que los operadores nucleares , aunque muchos autores reservan el término "operador de clase de rastreo" para el caso especial de los operadores nucleares en espacios de Hilbert y reservan "operador nuclear" para su uso en espacios vectoriales topológicos más generales (como como espacios de Banach ).

Definición

La traza , denotada por el operador lineal A, es la suma de la serie ^[1]${\displaystyle \operatorname {Tr} A,}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} A=\sum _{k}\left\langle Ae_{k},e_{k}\right\rangle ,}$

donde esta suma es independiente de la elección de la base ortonormal de H y donde esta suma es igual si no converge. ${\displaystyle \left(e_{k}\right)_{k}}$${\displaystyle \infty }$

Si H es de dimensión finita, entonces es igual a la definición habitual de la traza . ${\displaystyle \operatorname {Tr} A}$

Para cualquier operador lineal acotado sobre un espacio de Hilbert H , definimos su valor absoluto , denotado por , como la raíz cuadrada positiva de , es decir, es el operador positivo acotado único en H tal que${\displaystyle T:H\to H}$ ${\displaystyle |T|}$${\displaystyle T^{*}T,}$${\displaystyle \left|T\right|:={\sqrt {T^{*}T}}}$${\displaystyle |T|\circ |T|=T^{*}\circ T.}$

Se puede demostrar que un operador lineal acotado en un espacio de Hilbert es una clase de seguimiento si y solo si su valor absoluto es una clase de seguimiento. ^[1]

Se dice que un operador lineal acotado sobre un espacio de Hilbert H está en la clase de seguimiento si se satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes:${\displaystyle T:H\to H}$

1. T es un operador nuclear .
2. T es igual a la composición de dos operadores de Hilbert-Schmidt . ^[1]
3. ${\displaystyle {\sqrt {\left|T\right|}}}$es un operador de Hilbert-Schmidt . ^[1]
4. T es un operador integral . ^[2]
5. existen subconjuntos débilmente cerrados y equicontinuos (y por lo tanto débilmente compactos ) y de y respectivamente, y alguna medida positiva de radón en la masa total tal que para todos y :${\displaystyle A^{\prime }}$${\displaystyle B^{\prime \prime }}$${\displaystyle H^{\prime }}$${\displaystyle H^{\prime \prime },}$ ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle A^{\prime }\times B^{\prime \prime }}$${\displaystyle \leq 1}$${\displaystyle x\in H}$${\displaystyle y^{\prime }\in H^{\prime }}$

   ${\displaystyle y^{\prime }(T(x))=\int _{A^{\prime }\times B^{\prime \prime }}x^{\prime }(x)\cdot y^{\prime \prime }\left(y^{\prime }\right)\operatorname {d} \mu \left(x^{\prime },y^{\prime \prime }\right).}$

6. existen dos ortogonales secuencias y en H y una secuencia en tales que para todo ^[3]${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle \left(\lambda _{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ℓ 1 {\displaystyle \ell ^{1}} ${\displaystyle x\in H,}$ ${\displaystyle T(x)=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}\left\langle x,x_{i}\right\rangle y_{i}.}$
   • Aquí, los medios de suma infinita que la secuencia de sumas parciales converge a en H .${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}\left\langle x,x_{i}\right\rangle y_{i}\right)_{N=1}^{\infty }}$${\displaystyle T(x)}$
7. T es un operador compacto y dónde están los valores propios de con cada valor propio repetido tan a menudo como su multiplicidad. ^[1]${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }l_{i}<\infty ,}$${\displaystyle l_{1},l_{2},\ldots }$${\displaystyle \left|T\right|}$
   • Recuerde que la multiplicidad de un valor propio r es la dimensión del núcleo de dónde está el mapa de identidad.${\displaystyle T-r\operatorname {Id} _{H},}$${\displaystyle \operatorname {Id} _{H}:H\to H}$
8. para alguna base ortonormal de H , la suma de términos positivos es finita.${\displaystyle \left(e_{k}\right)_{k}}$${\displaystyle \sum _{k}\left\langle |T|\,e_{k},e_{k}\right\rangle }$
9. la condición anterior pero con la palabra "algunos" reemplazada por "todos".
10. el mapa de transposición es una clase de seguimiento (de acuerdo con cualquier condición definitoria que no sea esta), en cuyo caso ^[4]${\displaystyle {}^{t}T:H_{b}^{\prime }\to H_{b}^{\prime }}$${\displaystyle \left\|{}^{t}T\right\|_{1}=\|T\|_{1}.}$
    • Recordemos que la transpuesta de T se define por para todos pertenecientes al espacio dual continuo de H . El subíndice b indica que tiene su topología de norma habitual.${\displaystyle \left({}^{t}T\right)\left(y^{\prime }\right):=y^{\prime }\circ T,}$${\displaystyle y^{\prime }}$${\displaystyle H^{\prime }}$${\displaystyle H^{\prime }}$
11. ${\displaystyle \operatorname {Tr} \left(|T|\right)<\infty .}$^[1]

y si T aún no es un operador positivo, podemos agregar a esta lista:

12. el operador es una clase de seguimiento (de acuerdo con cualquier condición definitoria que no sea esta).${\displaystyle |T|}$

Norma de seguimiento

Si T es una clase de rastreo, entonces definimos la norma de rastreo de un operador de clase de rastreo T como el valor común

${\displaystyle \|T\|_{1}:=\sum _{k}\left\langle |T|\,e_{k},e_{k}\right\rangle =\operatorname {Tr} \left(|T|\right)}$

(donde se puede demostrar que la última igualdad se cumple necesariamente). Denotamos el espacio de todos los operadores lineales de clase de rastreo en H por${\displaystyle B_{1}(H).}$

Si T es una clase de rastreo, entonces

${\displaystyle \|T\|_{1}=\sup \left\{\left|\operatorname {Tr} (CT)\right|:\|C\|\leq 1{\text{ and }}C:H\to H{\text{ is a compact operator }}\right\}.}$^[5]

Cuando H es de dimensión finita, todo operador es una clase de traza y esta definición de traza de A coincide con la definición de traza de una matriz .

Por extensión, si A es un operador autoadjunto no negativo , también podemos definir la traza de A como un número real extendido por la suma posiblemente divergente

${\displaystyle \sum _{k}\left\langle Ae_{k},e_{k}\right\rangle .}$

donde esta suma es independiente de la elección de la base ortonormal de H .${\displaystyle \left(e_{k}\right)_{k}}$

Ejemplos

Todo operador lineal acotado que tiene un rango de dimensión finita (es decir, operadores de rango finito) es una clase de traza; ^[1] además, el espacio de todos los operadores de rango finito es un subespacio denso de B ₁ ( H ) (cuando está dotado de la norma). ^[5] La composición de dos operadores de Hilbert-Schmidt es un operador de clase de rastreo. ^[1]${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$

Dado cualquier define por cual es un operador lineal continuo de rango 1 y, por lo tanto, es una clase de rastreo; además, para cualquier operador lineal acotado A en H (y en H ), ^[5]${\displaystyle x,y\in H,}$${\displaystyle x\otimes y:H\to H}$${\displaystyle (x\otimes y)(z)=\langle z,y\rangle x,}$${\displaystyle \operatorname {Tr} \left(A(x\otimes y)\right)=\left\langle Ax,y\right\rangle .}$

Propiedades

1. Si es un autoadjunto no negativo, entonces A es traza-clase si y solo si Por lo tanto, un operador autoadjunto A es traza-clase si y solo si su parte positiva A ⁺ y la parte negativa A ^- son ambas traza- clase. (Las partes positivas y negativas de un operador autoadjunto se obtienen mediante el cálculo funcional continuo ).${\displaystyle A:H\to H}$${\displaystyle \operatorname {Tr} A<\infty .}$
2. La traza es un funcional lineal sobre el espacio de los operadores de clase de traza, es decir

   ${\displaystyle \operatorname {Tr} (aA+bB)=a\operatorname {Tr} (A)+b\operatorname {Tr} (B).}$

   El mapa bilineal

   ${\displaystyle \langle A,B\rangle =\operatorname {Tr} (A^{*}B)}$

   es un producto interno en la clase de seguimiento; la norma correspondiente se llama norma de Hilbert-Schmidt . La finalización de los operadores de clase de rastreo en la norma de Hilbert-Schmidt se denominan operadores de Hilbert-Schmidt.
3. ${\displaystyle \operatorname {Tr} :B_{1}(H)\to \mathbb {C} }$es un funcional lineal positivo tal que si T es un operador de clase de rastreo tal que y luego ^[1]${\displaystyle T\geq 0}$${\displaystyle \operatorname {Tr} T=0,}$${\displaystyle T=0.}$
4. Si es de clase de rastreo, entonces también lo es T ^* y ^[1]${\displaystyle T:H\to H}$${\displaystyle \|T\|_{1}=\left\|T^{*}\right\|_{1}.}$
5. Si está acotado y es de clase de rastreo, AT y TA también son de clase de rastreo, y ^{[6] [1]}${\displaystyle A:H\to H}$${\displaystyle T:H\to H}$

   ${\displaystyle \|AT\|_{1}=\operatorname {Tr} (|AT|)\leq \|A\|\|T\|_{1},\quad \|TA\|_{1}=\operatorname {Tr} (|TA|)\leq \|A\|\|T\|_{1}.}$^[1]

   Además, bajo la misma hipótesis,

   ${\displaystyle \operatorname {Tr} (AT)=\operatorname {Tr} (TA)}$y ^[1]${\displaystyle \left|\operatorname {Tr} (AT)\right|\leq \|A\|\|T\|.}$

   La última afirmación también es válida bajo la hipótesis más débil de que A y T son Hilbert-Schmidt.
6. El espacio de los operadores de clase rastro en H es un ideales en el espacio de operadores lineales delimitadas en H . ^[1]
7. Si y son dos bases ortonormales de H y si T es una clase de trazas, entonces ^[5]${\displaystyle \left(e_{k}\right)_{k}}$${\displaystyle \left(f_{k}\right)_{k}}$${\displaystyle \sum _{k}\left|\left\langle Te_{k},f_{k}\right\rangle \right|\leq \|T\|_{1}.}$
8. Si A es una clase de rastreo, entonces se puede definir el determinante de Fredholm de :${\displaystyle 1+A}$

   ${\displaystyle \det(I+A):=\prod _{n\geq 1}[1+\lambda _{n}(A)],}$

   donde está el espectro de la condición de clase de traza en las garantías de que el producto infinito es finito: de hecho,${\displaystyle \{\lambda _{n}(A)\}_{n}}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle A}$

   ${\displaystyle \det(I+A)\leq e^{\|A\|_{1}}.}$

   También implica que si y solo si es invertible.${\displaystyle \det(I+A)\neq 0}$${\displaystyle (I+A)}$
9. Si es una clase de traza, entonces para cualquier base ortonormal de H , la suma de términos positivos es finita. ^[1]${\displaystyle A:H\to H}$ ${\displaystyle \left(e_{k}\right)_{k}}$${\displaystyle \sum _{k}\left|\left\langle A\,e_{k},e_{k}\right\rangle \right|}$
10. Si para algunos operadores B y C de Hilbert-Schmidt , entonces para cualquier vector normal e en H tenemos ^[1]${\displaystyle A=B^{*}C}$ ${\displaystyle \left|\left\langle Ae,e\right\rangle \right|={\frac {1}{2}}\left(\left\|Be\right\|^{2}+\left\|Ce\right\|^{2}\right).}$

Teorema de Lidskii

Sea un operador de clase de traza en un espacio de Hilbert separable y sean los autovalores de Supongamos que se enumeran con multiplicidades algebraicas tomadas en cuenta (es decir, si la multiplicidad algebraica de es entonces se repite veces en la lista ). El teorema de Lidskii (llamado así por Victor Borisovich Lidskii ) establece que${\displaystyle A}$${\displaystyle H,}$${\displaystyle \{\lambda _{n}(A)\}_{n=1}^{N},}$ ${\displaystyle N\leq \infty }$${\displaystyle A.}$${\displaystyle \lambda _{n}(A)}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle k,}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle k}$${\displaystyle \lambda _{1}(A),\lambda _{2}(A),\dots }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}(A)=\operatorname {Tr} (A).}$

Tenga en cuenta que la serie de la izquierda converge absolutamente debido a la desigualdad de Weyl

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\big |}\lambda _{n}(A){\big |}\leq \sum _{m=1}^{M}s_{m}(A)}$

entre los valores propios y los valores singulares de un operador compacto ^[7]${\displaystyle \{\lambda _{n}(A)\}_{n=1}^{N}}$ ${\displaystyle \{s_{m}(A)\}_{m=1}^{M}}$${\displaystyle A.}$

Relación entre algunas clases de operadores

Se pueden ver ciertas clases de operadores acotados como análogos no conmutativos de los espacios de secuencia clásicos , con los operadores de clase de traza como el análogo no conmutativo del espacio de secuencia.${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {N} ).}$

De hecho, es posible aplicar el teorema espectral para demostrar que cada operador normal de clase de trazas en un espacio de Hilbert separable puede realizarse de cierta manera como una secuencia con respecto a alguna elección de un par de bases de Hilbert. En la misma línea, los operadores acotados son versiones no conmutativas de los operadores compactos de (las secuencias convergentes a 0), los operadores de Hilbert-Schmidt corresponden a y los operadores de rango finito (las secuencias que tienen sólo un número finito de términos distintos de cero). Hasta cierto punto, las relaciones entre estas clases de operadores son similares a las relaciones entre sus contrapartes conmutativas.${\displaystyle \ell ^{1}}$${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {N} ),}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} ),}$

Recuerde que cada operador compacto T en un espacio de Hilbert toma la siguiente forma canónica, para todos : ${\displaystyle h\in H,}$

${\displaystyle Th=\sum _{i=1}\alpha _{i}\langle h,v_{i}\rangle u_{i},\quad {\text{where}}\quad \alpha _{i}\geq 0,\ \alpha _{i}\to 0,}$

para algunas bases ortonormales y Haciendo los comentarios heurísticos anteriores más precisos, tenemos que T es traza de clase si la serie es convergente, T es Hilbert-Schmidt si es convergente, y T es de rango finito si la secuencia solo tiene un número finito distinto de cero condiciones.${\displaystyle \left(u_{i}\right)_{i}}$${\displaystyle \left(v_{i}\right)_{i}.}$${\displaystyle \sum _{i}\alpha _{i}}$${\displaystyle \sum _{i}\alpha _{i}^{2}}$${\displaystyle \left(\alpha _{i}\right)_{i}}$

La descripción anterior permite obtener fácilmente algunos hechos que relacionan estas clases de operadores. Por ejemplo, las siguientes inclusiones se mantienen y son todas adecuadas cuando H es de dimensión infinita: {rango finito} ⊂ {clase de traza} ⊂ {Hilbert – Schmidt} ⊂ {compacto}.

A los operadores de clase de trazas se les da la norma de trazas La norma correspondiente al producto interno de Hilbert-Schmidt es ${\displaystyle \|T\|_{1}=\operatorname {Tr} \left[\left(T^{*}T\right)^{1/2}\right]=\sum _{i}\alpha _{i}.}$

${\displaystyle \|T\|_{2}=\left[\operatorname {Tr} \left(T^{*}T\right)\right]^{1/2}=\left(\sum _{i}\alpha _{i}\right)^{1/2}.}$

Además, la norma habitual del operador es Por desigualdades clásicas con respecto a secuencias,${\displaystyle \|T\|=\sup _{i}\left(\alpha _{i}\right).}$

${\displaystyle \|T\|\leq \|T\|_{2}\leq \|T\|_{1}}$

para T apropiado .

También está claro que los operadores de rango finito son densos tanto en la clase de trazas como en Hilbert-Schmidt en sus respectivas normas.

Trace la clase como el dual de los operadores compactos

El espacio dual de es De manera similar, tenemos que el dual de operadores compactos, denotado por es los operadores de clase de rastreo, denotados por El argumento, que ahora esbozamos, recuerda al de los espacios de secuencia correspondientes. Dejemos que identificamos F con el operador definido por${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {N} ).}$${\displaystyle K(H)^{*},}$${\displaystyle C_{1}.}$${\displaystyle f\in K(H)^{*},}$${\displaystyle T_{f}}$

${\displaystyle \langle T_{f}x,y\rangle =f(S_{x,y}),}$

donde es el operador de rango uno dado por${\displaystyle S_{x,y}}$

${\displaystyle S_{x,y}(h)=\langle h,y\rangle x.}$

Esta identificación funciona porque los operadores de rango finito son densos en normas en En el caso de que sea ​​un operador positivo, para cualquier base ortonormal u _i , uno tiene${\displaystyle K(H).}$${\displaystyle T_{f}}$

${\displaystyle \sum _{i}\langle T_{f}u_{i},u_{i}\rangle =f(I)\leq \|f\|,}$

donde yo es el operador de identidad:

${\displaystyle I=\sum _{i}\langle \cdot ,u_{i}\rangle u_{i}.}$

Pero esto significa que es una clase de rastreo. Una apelación a la descomposición polar extiende esto al caso general, donde no es necesario que sea positivo.${\displaystyle T_{f}}$${\displaystyle T_{f}}$

Un argumento limitante que utiliza operadores de rango finito muestra que Así es isométricamente isomórfico a${\displaystyle \|T_{f}\|_{1}=\|f\|.}$${\displaystyle K(H)^{*}}$${\displaystyle C_{1}.}$

Como predulación de operadores acotados

Recuerde que el dual de es En el presente contexto, el dual de operadores de clase de rastreo son los operadores acotados B ( H ). Más precisamente, el conjunto es un ideal de dos caras en B ( H ). Entonces, dado cualquier operador T en B ( H ), podemos definir un funcional lineal continuo en por. Esta correspondencia entre operadores lineales acotados y elementos del espacio dual de es un isomorfismo isométrico . De ello se deduce que B ( H ) es el espacio dual de Esto se puede utilizar para definir el${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {N} ).}$${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle \varphi _{T}}$${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle \varphi _{T}(A)=\operatorname {Tr} (AT).}$${\displaystyle \varphi _{T}}$${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{1}.}$topología débil- * en B ( H ).

Ver también

• Operador nuclear
• Operadores nucleares entre espacios de Banach

Notas

1. Conway 1990 , pág. 267.
2. Trèves , 2006 , págs. 502-508.
3. Trèves , 2006 , p. 494.
4. Trèves , 2006 , p. 484.
5. Conway , 1990 , p. 268.
6. M. Reed y B. Simon, Análisis funcional , ejercicios 27, 28, página 218.
7. Simon, B. (2005) Trace ideales y sus aplicaciones , segunda edición, American Mathematical Society.

Referencias

• Conway, John (1990). Un curso de análisis funcional . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908 .
• Dixmier, J. (1969). Les Algebres d'Operateurs dans l'Espace Hilbertien . Gauthier-Villars.
• Schaefer, Helmut H. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 3 . Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .