En matemáticas , las estimaciones de Schauder son una colección de resultados debidos a Juliusz Schauder ( 1934 , 1937 ) sobre la regularidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales parciales lineales uniformemente elípticas . Las estimaciones dicen que cuando la ecuación tiene apropiadamente suavizar términos y apropiadamente suavizar soluciones, entonces la norma Hölder de la solución puede controlarse en términos de las normas de titular de los términos de coeficiente y fuente. Dado que estas estimaciones suponen por hipótesis la existencia de una solución, se denominan estimaciones a priori .
Hay tanto un resultado interior , que da una condición de Hölder para la solución en dominios interiores alejados del límite, como un resultado de límite , que da la condición de Hölder para la solución en todo el dominio. El primer límite depende únicamente de la dimensión espacial, la ecuación y la distancia al límite; esto último también depende de la suavidad del límite.
Las estimaciones de Schauder son una condición previa necesaria para utilizar el método de continuidad para probar la existencia y regularidad de soluciones al problema de Dirichlet para PDE elípticas. Este resultado dice que cuando los coeficientes de la ecuación y la naturaleza de las condiciones de contorno son suficientemente uniformes, existe una solución clásica suave para el PDE.
Notación
Las estimaciones de Schauder se dan en términos de normas ponderadas de Hölder; la notación seguirá la dada en el texto de D. Gilbarg y Neil Trudinger ( 1983 ).
La norma suprema de una función continua es dado por
Para una función que es Hölder continua con exponente , es decir, el seminario habitual de Hölder es impartido por
La suma de los dos es la norma de Hölder completa de f
Para funciones diferenciables u , es necesario considerar las normas de orden superior, que involucran derivadas. La norma en el espacio de funciones con k derivadas continuas,, es dado por
dónde rangos sobre todos los índices múltiples de órdenes apropiadas. Para funciones con derivadas de k- ésimo orden que son continuas de Holder con exponente, la semi-norma apropiada viene dada por
que da una norma completa de
Para las estimaciones interiores, las normas se ponderan por la distancia al límite
elevado a la misma potencia que la derivada, y las seminormas son ponderadas por
elevado a la potencia apropiada. La norma interior ponderada resultante para una función viene dada por
Ocasionalmente es necesario agregar potencias "extra" del peso, indicadas por
Formulación
Las formulaciones de esta sección están tomadas del texto de D. Gilbarg y Neil Trudinger ( 1983 ).
Estimaciones de interiores
Considere una solución acotada en el dominio a la elíptica, ecuación diferencial parcial de segundo orden
donde el término fuente satisface . Si existe una constante tal que el son estrictamente elípticas,
- para todos
y los coeficientes de las normas relevantes están todos acotados por otra constante
Entonces el ponderado la norma de u está controlada por el supremo de u y la norma del Titular de f :
Estimaciones de límites
Dejar ser un dominio (es decir, sobre cualquier punto en el límite del dominio, la superficie límite se puede realizar, después de una rotación apropiada de coordenadas, como un función), con datos de límite de Dirichlet que coinciden con una función que también es al menos . Luego, sujeto a condiciones análogas sobre los coeficientes como en el caso de la estimación interior, la norma de Holder no ponderada de u está controlada por las normas no ponderadas del término fuente, los datos de frontera y la norma superior de u :
Cuando la solución u satisface el principio máximo , se puede eliminar el primer término del lado derecho.
Fuentes
- Gilbarg, D .; Trudinger, Neil (1983), Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden , Nueva York: Springer, ISBN 3-540-41160-7
- Schauder, Juliusz (1934), "Über lineare elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung", Mathematische Zeitschrift (en alemán), Berlín, Alemania: Springer-Verlag, 38 (1), págs. 257–282, doi : 10.1007 / BF01170635 SEÑOR1545448
- Schauder, Juliusz (1937), "Numerische Abschätzungen in elliptischen linearen Differentialgleichungen" (PDF) , Studia Mathematica (en alemán), Lwów, Polonia: Polska Akademia Nauk. Instytut Matematyczny, 5 , págs. 34–42
Otras lecturas
- Courant, Richard ; Hilbert, David (1989), Methods of Mathematical Physics , 2 (primera edición en inglés), Nueva York: Wiley-Interscience, ISBN 0-471-50439-4
- Han, Qing; Lin, Fanghua (1997), Ecuaciones diferenciales parciales elípticas , Nueva York: Instituto Courant de Ciencias Matemáticas , ISBN 0-9658703-0-8, OCLC 38168365 SEÑOR1669352