En matemáticas , una superficie mínima es una superficie que minimiza localmente su área. Esto es equivalente a tener una curvatura media cero (consulte las definiciones a continuación).
El término "superficie mínima" se utiliza porque estas superficies surgieron originalmente como superficies que minimizaban el área de superficie total sujeta a alguna restricción. Se pueden hacer modelos físicos de superficies mínimas que minimizan el área sumergiendo un marco de alambre en una solución de jabón, formando una película de jabón , que es una superficie mínima cuyo límite es el marco de alambre. Sin embargo, el término se usa para superficies más generales que pueden intersecarse o no tener restricciones. Para una restricción dada, también pueden existir varias superficies mínimas con diferentes áreas (por ejemplo, ver superficie mínima de revolución ): las definiciones estándar solo se refieren a un óptimo local , no a un óptimo global .
Las superficies mínimas se pueden definir de varias formas equivalentes en R 3 . El hecho de que sean equivalentes sirve para demostrar cómo la teoría de superficies mínimas se encuentra en la encrucijada de varias disciplinas matemáticas, especialmente la geometría diferencial , el cálculo de variaciones , la teoría del potencial , el análisis complejo y la física matemática . [1]
Esta propiedad es local: pueden existir regiones en una superficie mínima, junto con otras superficies de menor área que tienen el mismo límite. Esta propiedad establece una conexión con las películas de jabón; una película de jabón deformada para tener un marco de alambre como límite minimizará el área.
Esta definición hace de las superficies mínimas un análogo bidimensional de las geodésicas , que se definen de forma análoga como puntos críticos de la longitud funcional.
Una implicación directa de esta definición es que cada punto de la superficie es un punto silla con curvaturas principales iguales y opuestas . Además, esto convierte superficies mínimas en las soluciones estáticas del flujo de curvatura media . Según la ecuación de Young-Laplace , la curvatura media de una película de jabón es proporcional a la diferencia de presión entre los lados. Si la película de jabón no encierra una región, esto hará que su curvatura media sea cero. Por el contrario, una pompa de jabón esférica encierra una región que tiene una presión diferente de la región exterior y, como tal, no tiene una curvatura media cero.
La ecuación diferencial parcial en esta definición fue encontrada originalmente en 1762 por Lagrange , [2] y Jean Baptiste Meusnier descubrió en 1776 que implicaba una curvatura media que se desvanecía. [3]
Esta definición vincula las superficies mínimas a las funciones armónicas y la teoría del potencial .
Una implicación directa de esta definición y el principio máximo para funciones armónicas es que no hay superficies mínimas completas compactas en R 3 .
Esta definición utiliza que la curvatura media es la mitad de la traza del operador de forma , que está vinculado a las derivadas del mapa de Gauss. Si el mapa de Gauss proyectado obedece a las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces la traza desaparece o cada punto de M es umbilical , en cuyo caso es un trozo de esfera.
Las definiciones locales de área mínima y variacional permiten extender superficies mínimas a otras variedades riemannianas distintas de R 3 .
La teoría de la superficie mínima se origina con Lagrange, quien en 1762 consideró el problema variacional de encontrar la superficie z = z ( x , y ) del área mínima estirada a través de un contorno cerrado dado. Derivó la ecuación de Euler-Lagrange para la solución
No logró encontrar ninguna solución más allá del avión. En 1776, Jean Baptiste Marie Meusnier descubrió que el helicoide y el catenoide satisfacen la ecuación y que la expresión diferencial corresponde al doble de la curvatura media de la superficie, concluyendo que las superficies con curvatura media cero minimizan el área.
Al expandir la ecuación de Lagrange a
Gaspard Monge y Legendre en 1795 derivaron fórmulas de representación para las superficies de solución. Si bien Heinrich Scherk las utilizó con éxito en 1830 para derivar sus superficies , en general se las consideró prácticamente inutilizables. El catalán demostró en 1842/43 que el helicoide es la única superficie mínima reglada .
El progreso había sido bastante lento hasta mediados de siglo, cuando el problema de Björling se resolvió utilizando métodos complejos. Comenzó la "primera edad de oro" de las superficies mínimas. Schwarz encontró la solución del problema de Plateau para un cuadrilátero regular en 1865 y para un cuadrilátero general en 1867 (permitiendo la construcción de sus familias de superficies periódicas ) usando métodos complejos. Weierstrass y Enneper desarrollaron fórmulas de representación más útiles , vinculando firmemente superficies mínimas con análisis complejos y funciones armónicas.. Otras contribuciones importantes vinieron de Beltrami, Bonnet, Darboux, Lie, Riemann, Serret y Weingarten.
Entre 1925 y 1950 revivió la teoría de la superficie mínima, ahora dirigida principalmente a superficies mínimas no paramétricas. La solución completa del problema de Plateau por Jesse Douglas y Tibor Radó fue un hito importante. El problema de Bernstein y el trabajo de Robert Osserman sobre superficies mínimas completas de curvatura total finita también fueron importantes.
Otro renacimiento comenzó en la década de 1980. Una de las causas fue el descubrimiento en 1982 por Celso Costa de una superficie que refutaba la conjetura de que el plano, el catenoide y el helicoide son las únicas superficies mínimas integradas completas en R 3 de tipo topológico finito. Esto no solo estimuló un nuevo trabajo sobre el uso de los viejos métodos paramétricos, sino que también demostró la importancia de los gráficos por computadora para visualizar las superficies estudiadas y los métodos numéricos para resolver el "problema del período" (cuando se usa el método de superficie conjugada para determinar parches de superficie que pueden ser ensamblados en una superficie simétrica más grande, ciertos parámetros deben combinarse numéricamente para producir una superficie incrustada). Otra causa fue la verificación por H. Karcher de que elsuperficies mínimas triples periódicas originalmente descritas empíricamente por Alan Schoen en 1970 en realidad existen. Esto ha dado lugar a una rica colección de familias de superficies y métodos para derivar nuevas superficies a partir de las antiguas, por ejemplo, añadiendo asas o distorsionándolas.
Actualmente, la teoría de superficies mínimas se ha diversificado a subvariedades mínimas en otras geometrías ambientales, volviéndose relevante para la física matemática (por ejemplo, la conjetura de masa positiva , la conjetura de Penrose ) y la geometría de tres variedades (por ejemplo, la conjetura de Smith , la conjetura de Poincaré , la geometrización de Thurston Conjetura ).
Los ejemplos clásicos de superficies mínimas incluyen:
Las superficies de la edad de oro del siglo XIX incluyen:
Las superficies modernas incluyen:
Las superficies mínimas se pueden definir en otras variedades distintas de R 3 , como el espacio hiperbólico , los espacios de dimensiones superiores o las variedades de Riemann .
La definición de superficies mínimas se puede generalizar / ampliar para cubrir superficies de curvatura media constante : superficies con una curvatura media constante, que no necesitan ser iguales a cero.
En geometría diferencial discreta se estudian superficies mínimas discretas: complejos simpliciales de triángulos que minimizan su área ante pequeñas perturbaciones de las posiciones de sus vértices. [4] Estas discretizaciones se utilizan a menudo para aproximar numéricamente superficies mínimas, incluso si no se conocen expresiones de forma cerrada.
El movimiento browniano en una superficie mínima conduce a demostraciones probabilísticas de varios teoremas en superficies mínimas. [5]
Las superficies mínimas se han convertido en un área de intenso estudio científico, especialmente en las áreas de ingeniería molecular y ciencia de materiales , debido a sus aplicaciones anticipadas en el autoensamblaje de materiales complejos. [ cita requerida ] Se propone que el retículo endoplásmico , una estructura importante en la biología celular, esté bajo presión evolutiva para adaptarse a una superficie mínima no trivial. [6]
En los campos de la relatividad general y la geometría de Lorentz , ciertas extensiones y modificaciones de la noción de superficie mínima, conocidas como horizontes aparentes , son significativas. [7] En contraste con el horizonte de eventos , representan un enfoque basado en la curvatura para comprender los límites de los agujeros negros .
Las estructuras con superficies mínimas se pueden utilizar como carpas.
Las superficies mínimas son parte de la caja de herramientas de diseño generativo que utilizan los diseñadores modernos. En arquitectura, ha habido mucho interés en las estructuras de tracción , que están estrechamente relacionadas con las superficies mínimas. Un ejemplo famoso es el Olympiapark en Münich de Frei Otto , inspirado en las superficies de jabón.
En el mundo del arte, las superficies mínimas se han explorado ampliamente en la escultura de Robert Engman (1927–), Robert Longhurst (1949–) y Charles O. Perry (1929–2011), entre otros.
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