La ecuación de Schrödinger-Newton , a veces denominada ecuación de Newton-Schrödinger o Schrödinger-Poisson , es una modificación no lineal de la ecuación de Schrödinger con un potencial gravitacional newtoniano , donde el potencial gravitacional surge del tratamiento de la función de onda como una densidad de masa , incluido un término que representa la interacción de una partícula con su propio campo gravitacional. La inclusión de un término de auto-interacción representa una alteración fundamental de la mecánica cuántica. [1]Puede escribirse como una única ecuación integro-diferencial o como un sistema acoplado de una ecuación de Schrödinger y una de Poisson. En el último caso, también se hace referencia a él en plural.
La ecuación de Schrödinger-Newton fue considerada por primera vez por Ruffini y Bonazzola [2] en relación con las estrellas de bosones autogravitantes . En este contexto de la relatividad general clásica aparece como el límite no relativista de la ecuación de Klein-Gordon o de la ecuación de Dirac en un espacio-tiempo curvo junto con las ecuaciones de campo de Einstein . [3] La ecuación también describe la materia oscura difusa y se aproxima a la materia oscura fría clásica descrita por la ecuación de Vlasov-Poisson en el límite de que la masa de partículas es grande. [4]
Posteriormente fue propuesto como modelo para explicar el colapso de la función de onda cuántica por Lajos Diósi [5] y Roger Penrose , [6] [7] [8] de quienes se origina el nombre "Ecuación de Schrödinger-Newton". En este contexto, la materia tiene propiedades cuánticas, mientras que la gravedad sigue siendo clásica incluso en el nivel fundamental. Por lo tanto, la ecuación de Schrödinger-Newton también se sugirió como una forma de probar la necesidad de la gravedad cuántica . [9]
En un tercer contexto, la ecuación de Schrödinger-Newton aparece como una aproximación de Hartree para la interacción gravitacional mutua en un sistema de un gran número de partículas. En este contexto, Philippe Choquard sugirió una ecuación correspondiente para la interacción electromagnética de Coulomb en el Simposio de 1976 sobre sistemas de Coulomb en Lausana para describir los plasmas de un componente. Elliott H. Lieb proporcionó la prueba de la existencia y unicidad de un estado fundamental estacionario y se refirió a la ecuación como la ecuación de Choquard . [10]
Descripción general
Como sistema acoplado, las ecuaciones de Schrödinger-Newton son la ecuación de Schrödinger habitual con un potencial gravitacional de auto-interacción.
donde V es un potencial ordinario y el potencial gravitacional , que representa la interacción de la partícula con su propio campo gravitacional, satisface la ecuación de Poisson
Debido al acoplamiento inverso de la función de onda al potencial, es un sistema no lineal .
La forma integro-diferencial de la ecuación es
Se obtiene del sistema de ecuaciones anterior mediante la integración de la ecuación de Poisson bajo el supuesto de que el potencial debe desaparecer en el infinito.
Matemáticamente, la ecuación de Schrödinger-Newton es un caso especial de la ecuación de Hartree para n = 2. La ecuación conserva la mayoría de las propiedades de la ecuación lineal de Schrödinger. En particular, es invariante bajo cambios de fase constantes, lo que lleva a la conservación de la probabilidad, y exhibe invariancia Galilei completa . Además de estas simetrías, una transformación simultánea
mapea soluciones de la ecuación de Schrödinger-Newton a soluciones. [11] [12] La ecuación estacionaria, que puede obtenerse de la manera habitual mediante una separación de variables, posee una familia infinita de soluciones normalizables de las cuales sólo el estado fundamental estacionario es estable. [13] [14] [15]
Relación con la gravedad semiclásica y cuántica
La ecuación de Schrödinger-Newton se puede derivar bajo el supuesto de que la gravedad sigue siendo clásica, incluso en el nivel fundamental, y que la forma correcta de acoplar la materia cuántica a la gravedad es mediante las ecuaciones semiclásicas de Einstein . En este caso, se agrega un término de potencial gravitacional newtoniano a la ecuación de Schrödinger, donde la fuente de este potencial gravitacional es el valor esperado del operador de densidad de masa. En este sentido, si la gravedad es fundamentalmente clásica, la ecuación de Schrödinger-Newton es una ecuación fundamental de una partícula, que puede generalizarse al caso de muchas partículas (ver más abajo).
Si, por otro lado, el campo gravitacional está cuantificado, la ecuación fundamental de Schrödinger permanece lineal. La ecuación de Schrödinger-Newton solo es válida como una aproximación de la interacción gravitacional en sistemas de un gran número de partículas y no tiene ningún efecto sobre el centro de masa. [dieciséis]
Ecuación de muchos cuerpos y movimiento del centro de masa
Si se considera la ecuación de Schrödinger-Newton como una ecuación fundamental, existe una ecuación de N cuerpos correspondiente que ya fue dada por Diósi, [5] y se puede derivar de la gravedad semiclásica de la misma manera que la ecuación de una partícula:
El potencial contiene todas las interacciones lineales mutuas, por ejemplo, interacciones electrodinámicas de Coulomb, mientras que el término potencial gravitacional se basa en el supuesto de que todas las partículas perciben el mismo potencial gravitacional generado por todas las distribuciones marginales para todas las partículas juntas.
En una aproximación similar a la de Born-Oppenheimer , esta ecuación de N-partículas se puede dividir en dos ecuaciones, una que describe el movimiento relativo y la otra que proporciona la dinámica de la función de onda del centro de masa. Para el movimiento relativo, la interacción gravitacional no juega un papel, ya que generalmente es débil en comparación con las otras interacciones representadas por. Pero tiene una influencia significativa en el movimiento del centro de masa. Tiemposólo depende de coordenadas relativas y, por lo tanto, no contribuye en absoluto a la dinámica del centro de masa, la interacción no lineal de Schrödinger-Newton sí contribuye. En la aproximación antes mencionada, la función de onda del centro de masa satisface la siguiente ecuación no lineal de Schrödinger:
donde M es la masa total, R es la coordenada relativa, la función de onda del centro de masa, y es la densidad de masa del sistema de muchos cuerpos (por ejemplo, una molécula o una roca) en relación con su centro de masa. [17]
En el caso límite de una función de onda amplia, es decir, donde el ancho de la distribución del centro de masa es grande en comparación con el tamaño del objeto considerado, el movimiento del centro de masa se aproxima bien mediante la ecuación de Schrödinger-Newton. para una sola partícula. El caso opuesto de una función de onda estrecha puede aproximarse mediante un potencial de oscilador armónico, donde la dinámica de Schrödinger-Newton conduce a una rotación en el espacio de fase. [18]
En el contexto en el que la ecuación de Schrödinger-Newton aparece como una aproximación de Hartree, la situación es diferente. En este caso, la función de onda completa de N-partículas se considera un estado producto de N funciones de onda de una sola partícula, donde cada uno de esos factores obedece a la ecuación de Schrödinger-Newton. Sin embargo, la dinámica del centro de masa sigue siendo estrictamente lineal en esta imagen. Esto es cierto en general: las ecuaciones de Hartree no lineales nunca influyen en el centro de masa.
Importancia de los efectos
Una estimación aproximada de orden de magnitud del régimen en el que los efectos de la ecuación de Schrödinger-Newton se vuelven relevantes se puede obtener mediante un razonamiento bastante simple. [9] Para un gaussiano de simetría esférica ,
la ecuación de Schrödinger lineal libre tiene la solución
El pico de la densidad de probabilidad radial se puede encontrar en
Ahora configuramos la aceleración
de este pico de probabilidad igual a la aceleración debida a la gravedad newtoniana,
usando eso en el momento . Esto produce la relación
lo que nos permite determinar un ancho crítico para un valor de masa dado y viceversa. También reconocemos la ley de escala mencionada anteriormente. Las simulaciones numéricas [12] [1] muestran que esta ecuación da una estimación bastante buena del régimen en el que los efectos de la ecuación de Schrödinger-Newton se vuelven significativos.
Para un átomo, el ancho crítico es de alrededor de 10 22 metros, mientras que ya es de 10 a 31 metros para una masa de un microgramo. Se espera que el régimen en el que la masa es de alrededor de 10 10 unidades de masa atómica mientras que el ancho es del orden de micrómetros permita una prueba experimental de la ecuación de Schrödinger-Newton en el futuro. Un posible candidato son los experimentos de interferometría con moléculas pesadas, que actualmente alcanzan masas de hasta 10.000 unidades de masa atómica.
Colapso de la función de onda cuántica
La idea de que la gravedad causa (o influye de alguna manera) el colapso de la función de onda se remonta a la década de 1960 y fue propuesta originalmente por Károlyházy . [19] La ecuación de Schrödinger-Newton fue propuesta en este contexto por Diósi. [5] Allí, la ecuación proporciona una estimación de la "línea de demarcación" entre objetos microscópicos (cuánticos) y macroscópicos (clásicos). El estado fundamental estacionario tiene un ancho de
Para una esfera homogénea bien localizada, es decir, una esfera con una función de onda de centro de masa que es estrecha en comparación con el radio de la esfera, Diósi encuentra como una estimación del ancho del centro de masa en el estado fundamental función de onda
Suponiendo una densidad habitual de alrededor de 1000 kg / m 3 , se puede calcular un radio crítico para el cual. Este radio crítico es de alrededor de una décima de micrómetro.
Roger Penrose propuso que la ecuación de Schrödinger-Newton describe matemáticamente los estados básicos involucrados en un esquema de colapso de la función de onda inducida gravitacionalmente . [6] [7] [8] Penrose sugiere que una superposición de dos o más estados cuánticos que tienen una cantidad significativa de desplazamiento de masa debería ser inestable y reducirse a uno de los estados dentro de un tiempo finito. Él plantea la hipótesis de que existe un conjunto "preferido" de estados que no podrían colapsar más, específicamente los estados estacionarios de la ecuación de Schrödinger-Newton. Por lo tanto, un sistema macroscópico nunca puede estar en una superposición espacial ya que la auto-interacción gravitacional no lineal conduce inmediatamente a un colapso a un estado estacionario de la ecuación de Schrödinger-Newton. Según la idea de Penrose, cuando se mide una partícula cuántica, hay una interacción de este colapso no lineal y la decoherencia ambiental . La interacción gravitacional conduce a la reducción del entorno a un estado distinto y la decoherencia conduce a la localización de la partícula, por ejemplo, como un punto en una pantalla.
Problemas y asuntos abiertos
Se producen tres problemas importantes con esta interpretación de la ecuación de Schrödinger-Newton como causa del colapso de la función de onda. Primero, los estudios numéricos [12] [15] [1] coinciden en encontrar que cuando un paquete de ondas "colapsa" en una solución estacionaria, una pequeña porción parece escaparse al infinito. Esto significaría que incluso un sistema cuántico completamente colapsado todavía se puede encontrar en una ubicación distante. Dado que las soluciones de la ecuación lineal de Schrödinger tienden hacia el infinito incluso más rápido, esto solo indica que la ecuación de Schrödinger-Newton por sí sola no es suficiente para explicar el colapso de la función de onda. Si se tiene en cuenta el medio ambiente, este efecto podría desaparecer y, por tanto, no estar presente en el escenario descrito por Penrose.
Un segundo problema, que también surge en la propuesta de Penrose, es el origen de la regla del Born . Para resolver el problema de la medición , no es suficiente una mera explicación de por qué una función de onda se colapsa en, por ejemplo, un punto en una pantalla. Un buen modelo para el proceso de colapso también tiene que explicar por qué el punto aparece en diferentes posiciones de la pantalla con probabilidades determinadas por el valor absoluto al cuadrado de la función de onda. Aunque podría ser posible que un modelo basado en la idea de Penrose pudiera proporcionar tal explicación, no hay una forma evidente de cómo la regla de Born podría surgir naturalmente de ella.
Finalmente, dado que el potencial gravitacional está vinculado a la función de onda en la imagen de la ecuación de Schrödinger-Newton, la función de onda debe interpretarse como un objeto real. Por tanto, al menos en principio, se convierte en una cantidad mensurable. Haciendo uso de la naturaleza no local de los sistemas cuánticos entrelazados, esto podría usarse para enviar señales más rápido que la luz, que generalmente se piensa que está en contradicción con la causalidad. Sin embargo, no está claro si este problema se puede resolver aplicando la prescripción de colapso correcta, aún por encontrar, de manera consistente al sistema cuántico completo. Además, dado que la gravedad es una interacción tan débil, no está claro que tal experimento pueda realizarse dentro de los parámetros dados en nuestro universo (cf. la discusión [20] sobre un experimento mental similar propuesto por Eppley y Hannah [21] ).
Ver también
- Ecuación de Schrödinger no lineal
- Gravedad semiclásica
- Interpretación de Penrose
- Ecuación de Poisson
Referencias
- ^ a b c van Meter, JR (2011), "Schrödinger-Newton 'collapse' of the wave function", Classical and Quantum Gravity , 28 (21): 215013, arXiv : 1105.1579 , Bibcode : 2011CQGra..28u5013V , CiteSeerX 10.1 .1.768.3363 , doi : 10.1088 / 0264-9381 / 28/21/215013 , S2CID 119294473
- ^ Ruffini, Remo; Bonazzola, Silvano (1969), "Sistemas de partículas autogravitantes en la relatividad general y el concepto de una ecuación de estado", Physical Review , 187 (5): 1767-1783, Bibcode : 1969 PhRv..187.1767R , doi : 10.1103 /PhysRev.187.1767 , hdl : 2060/19690028071
- ^ Giulini, Domenico; Großardt, André (2012), "La ecuación de Schrödinger-Newton como límite no relativista de los campos autogravitantes de Klein-Gordon y Dirac", Gravedad clásica y cuántica , 29 (21): 215010, arXiv : 1206.4250 , Bibcode : 2012CQGra ..29u5010G , doi : 10.1088 / 0264-9381 / 29/21/215010 , S2CID 118837903
- ^ Mocz, Philip; Lancaster, Lachlan; Fialkov, Anastasia; Becerra, Fernando; Chavanis, Pierre-Henri (2018). "Correspondencia de Schrödinger-Poisson-Vlasov-Poisson". Physical Review D . 97 (8): 083519. arXiv : 1801.03507 . Código Bibliográfico : 2018PhRvD..97h3519M . doi : 10.1103 / PhysRevD.97.083519 . ISSN 2470-0010 . S2CID 53956984 .
- ^ a b c Diósi, Lajos (1984), "Gravitación y localización mecánica cuántica de macroobjetos", Physics Letters A , 105 (4-5): 199-202, arXiv : 1412.0201 , Bibcode : 1984PhLA..105..199D , doi : 10.1016 / 0375-9601 (84) 90397-9 , S2CID 117957630
- ^ a b Penrose, Roger (1996), "On Gravity's Role in Quantum State Reduction", Relatividad general y gravitación , 28 (5): 581-600, Bibcode : 1996GReGr..28..581P , CiteSeerX 10.1.1.468.2731 , doi : 10.1007 / BF02105068 , S2CID 44038399
- ^ a b Penrose, Roger (1998), "Computación cuántica, entrelazamiento y reducción de estados", Phil. Trans. R. Soc. Lond. A , 356 (1743): 1927–1939, Bibcode : 1998RSPTA.356.1927P , doi : 10.1098 / rsta.1998.0256 , S2CID 83378847
- ^ a b Penrose, Roger (2014), "On the Gravitization of Quantum Mechanics 1: Quantum State Reduction", Foundations of Physics , 44 (5): 557–575, Bibcode : 2014FoPh ... 44..557P , doi : 10.1007 / s10701 -013-9770-0
- ^ a b Carlip, S. (2008), "¿Es necesaria la gravedad cuántica?", Gravedad clásica y cuántica , 25 (15): 154010, arXiv : 0803.3456 , Bibcode : 2008CQGra..25o4010C , doi : 10.1088 / 0264-9381 / 25/15 / 154010 , S2CID 15147227
- ^ Lieb, Elliott H. (1977), "Existencia y unicidad de la solución minimizadora de la ecuación no lineal de Choquard", Estudios en matemáticas aplicadas , 57 (2): 93-105, Bibcode : 1977StAM ... 57 ... 93L , doi : 10.1002 / sapm197757293
- ^ Robertshaw, Oliver; Tod, Paul (2006), "Simetrías de puntos de mentira y una solución aproximada para las ecuaciones de Schrödinger-Newton", No linealidad , 19 (7): 1507-1514, arXiv : math-ph / 0509066 , Bibcode : 2006Nonli..19.1507R , doi : 10.1088 / 0951-7715 / 19/7/002 , S2CID 119698934
- ^ a b c Giulini, Domenico; Großardt, André (2011), "Inhibiciones de dispersión inducidas por la gravedad según la ecuación de Schrödinger-Newton", Gravedad clásica y cuántica , 28 (19): 195026, arXiv : 1105.1921 , Bibcode : 2011CQGra..28s5026G , doi : 10.1088 / 0264 -9381/28/19/195026 , S2CID 117102725
- ^ Moroz, Irene M .; Penrose, Roger; Tod, Paul (1998), "Soluciones esféricamente simétricas de las ecuaciones de Schrödinger-Newton", Gravedad clásica y cuántica , 15 (9): 2733-2742, Bibcode : 1998CQGra..15.2733M , doi : 10.1088 / 0264-9381 / 15/9/019
- ^ Tod, Paul; Moroz, Irene M. (1999), "Un enfoque analítico a las ecuaciones de Schrödinger-Newton", de no linealidad , 12 (2): 201-216, bibcode : 1999Nonli..12..201T , doi : 10.1088 / 0951 a 7715 / 02/12/002
- ^ a b Harrison, R .; Moroz, I .; Tod, KP (2003), "Un estudio numérica de las ecuaciones de Schrödinger-Newton", de no linealidad , 16 (1): 101-122, arXiv : matemáticas-ph / 0208045 , bibcode : 2003Nonli..16..101H , doi : 10.1088 / 0951-7715 / 16/1/307 , (parte 1) y (parte 2)
- ^ Bahrami, Mohammad; Großardt, André; Donadi, Sandro; Bassi, Angelo (2014). "La ecuación de Schrödinger-Newton y sus fundamentos". New J. Phys . 16 (2014): 115007. arXiv : 1407.4370 . Código bibliográfico : 2014NJPh ... 16k5007B . doi : 10.1088 / 1367-2630 / 16/11/115007 . S2CID 4860144 .
- ^ Giulini, Domenico; Großardt, André (2014), "Movimiento del centro de masa en la dinámica de Schrödinger-Newton de múltiples partículas", New Journal of Physics , 16 (7): 075005, arXiv : 1404.0624 , Bibcode : 2014NJPh ... 16g5005G , doi : 10.1088 / 1367-2630 / 16/7/075005 , S2CID 119144766
- ^ Yang, Huan; Miao, Haixing; Lee, Da-Shin; Helou, Bassam; Chen, Yanbei (2013), "Mecánica cuántica macroscópica en un espacio-tiempo clásico", Physical Review Letters , 110 (17): 170401, arXiv : 1210.0457 , Bibcode : 2013PhRvL.110q0401Y , doi : 10.1103 / PhysRevLett.110.170401 , PMID 23679686 , S2CID 34063658
- ^ Károlyházy, F. (1966), "Gravitación y mecánica cuántica de objetos macroscópicos", Il Nuovo Cimento A , 42 (2): 390–402, Bibcode : 1966NCimA..42..390K , doi : 10.1007 / BF02717926 , S2CID 124429072
- ^ Mattingly, James (2006), "Por qué falla el experimento mental de Eppley y Hannah", Physical Review D , 73 (6): 064025, arXiv : gr-qc / 0601127 , Bibcode : 2006PhRvD..73f4025M , doi : 10.1103 / physrevd.73.064025 , S2CID 12485472
- ^ Eppley, Kenneth; Hannah, Eric (1977), "La necesidad de cuantificar el campo gravitacional", Fundamentos de la física , 7 (1-2): 51-68, Bibcode : 1977FoPh .... 7 ... 51E , doi : 10.1007 / BF00715241 , S2CID 123251640