En la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos , un campo de Schrödinger , llamado así por Erwin Schrödinger , es un campo cuántico que obedece a la ecuación de Schrödinger . [1] Si bien cualquier situación descrita por un campo de Schrödinger también puede describirse mediante una ecuación de Schrödinger de muchos cuerpos para partículas idénticas, la teoría de campo es más adecuada para situaciones en las que el número de partículas cambia.
Un campo de Schrödinger es también el límite clásico de un campo cuántico de Schrödinger, una onda clásica que satisface la ecuación de Schrödinger. A diferencia de la función de onda de la mecánica cuántica, si hay interacciones entre las partículas, la ecuación no será lineal . Estas ecuaciones no lineales describen el límite de onda clásico de un sistema de interacción de partículas idénticas.
La integral de trayectoria de un campo de Schrödinger también se conoce como integral de trayectoria de estado coherente, porque el campo en sí es un operador de aniquilación cuyos estados propios se pueden considerar como estados coherentes de las oscilaciones armónicas de los modos de campo.
Los campos de Schrödinger son útiles para describir la condensación de Bose-Einstein , la ecuación de Bogolyubov - de Gennes de superconductividad , superfluidez y la teoría de muchos cuerpos en general. También son un formalismo alternativo útil para la mecánica cuántica no relativista.
Un campo de Schrödinger es el límite no relativista de un campo de Klein-Gordon .
Un campo de Schrödinger es un campo cuántico cuyos cuantos obedecen a la ecuación de Schrödinger . En el límite clásico, puede entenderse como la ecuación de onda cuantificada de un condensado de Bose Einstein o un superfluido .
Campo libre
Un campo de Schrödinger tiene el campo libre lagrangiano
Cuándo es un campo de valor complejo en una integral de ruta, o equivalentemente un operador con relaciones de conmutación canónicas, describe una colección de bosones no relativistas idénticos. Cuándoes un campo valorado por Grassmann , o equivalentemente un operador con relaciones canónicas anticonmutación, el campo describe fermiones idénticos.
Potencial externo
Si las partículas interactúan con un potencial externo , la interacción hace una contribución local a la acción:
Si la ecuación de Schrödinger ordinaria para V tiene estados propios de energía conocidos con energías , entonces el campo en la acción se puede rotar en una base diagonal mediante una expansión de modo:
La acción se convierte en:
que es la integral de trayectoria de posición-momento para una colección de osciladores armónicos independientes.
Para ver la equivalencia, tenga en cuenta que descompuesta en partes reales e imaginarias la acción es:
después de una integración por partes. Integrando sobre da la acción
que, reescalando , es una acción de oscilador armónico con frecuencia .
Potencial de pareja
Cuando las partículas interactúan con un potencial par , la interacción es una contribución no local a la acción:
Un potencial de par es el límite no relativista de un campo relativista acoplado a la electrodinámica. Ignorando los grados de libertad que se propagan, la interacción entre electrones no relativistas es la repulsión de coulomb. En dimensiones 2 + 1, esto es:
Cuando se acopla a un potencial externo para modelar las posiciones clásicas de los núcleos, un campo de Schrödinger con este par de potencial describe casi toda la física de la materia condensada. Las excepciones son efectos como la superfluidez, donde la interferencia mecánica cuántica de los núcleos es importante, y los electrones de la capa interna donde el movimiento de los electrones puede ser relativista.
Ecuación de Schrödinger no lineal
Un caso especial de interacción de función delta se estudia ampliamente y se conoce como la ecuación de Schrödinger no lineal . Debido a que las interacciones siempre ocurren cuando dos partículas ocupan el mismo punto, la acción de la ecuación de Schrödinger no lineal es local:
La fuerza de la interacción requiere renormalización en dimensiones superiores a 2 y en dos dimensiones tiene divergencia logarítmica. En cualquier dimensión, e incluso con divergencia entre ley de potencias, la teoría está bien definida. Si las partículas son fermiones, la interacción se desvanece.
Potenciales de muchos cuerpos
Los potenciales pueden incluir contribuciones de muchos cuerpos. El lagrangiano que interactúa es entonces:
Estos tipos de potenciales son importantes en algunas descripciones efectivas de átomos compactos. Las interacciones de orden superior son cada vez menos importantes.
Formalismo canónico
La asociación del impulso canónico con el campo es
Las relaciones canónicas de conmutación son como un oscilador armónico independiente en cada punto:
El campo hamiltoniano es
y la ecuación de campo para cualquier interacción es una versión no lineal y no local de la ecuación de Schrödinger. Para interacciones por pares:
Teoría de la perturbación
La expansión en los diagramas de Feynman se llama teoría de perturbación de muchos cuerpos . El propagador es
El vértice de interacción es la transformada de Fourier del potencial de par. En todas las interacciones, el número de líneas entrantes y salientes es igual.
Partículas idénticas
La ecuación de Schrödinger de muchos cuerpos para partículas idénticas describe la evolución temporal de la función de onda de muchos cuerpos ψ ( x 1 , x 2 ... x N ), que es la amplitud de probabilidad de que N partículas tengan las posiciones enumeradas. La ecuación de Schrödinger para ψ es:
con hamiltoniano
Dado que las partículas son indistinguibles, la función de onda tiene cierta simetría en las posiciones de conmutación. Ya sea
- ,
- .
Dado que las partículas son indistinguibles, el potencial V debe permanecer sin cambios bajo permutaciones. Si
entonces debe ser el caso que . Si
luego y así.
En el formalismo de la ecuación de Schrödinger, las restricciones sobre el potencial son ad-hoc y el límite de onda clásico es difícil de alcanzar. También tiene una utilidad limitada si un sistema está abierto al medio ambiente, porque las partículas pueden entrar y salir coherentemente.
Espacio Fock no relativista
Un campo de Schrödinger se define extendiendo el espacio de estados de Hilbert para incluir configuraciones con un número de partículas arbitrario. Una base casi completa para este conjunto de estados es la colección:
etiquetado por el número total de partículas y su posición. Un estado arbitrario con partículas en posiciones separadas se describe mediante una superposición de estados de esta forma.
En este formalismo, tenga en cuenta que dos estados cualesquiera cuyas posiciones puedan permutarse entre sí son realmente iguales, por lo que los dominios de integración deben evitar la doble contabilización. También tenga en cuenta que aún no se han definido los estados con más de una partícula en el mismo punto. La cantidad es la amplitud de que no haya partículas presentes y su cuadrado absoluto es la probabilidad de que el sistema esté en el vacío.
Para reproducir la descripción de Schrödinger, el producto interno en los estados base debe ser
y así. Dado que la discusión es casi formalmente idéntica para bosones y fermiones, aunque las propiedades físicas son diferentes, de aquí en adelante las partículas serán bosones.
Hay operadores naturales en este espacio de Hilbert. Un operador, llamado, es el operador que introduce una partícula extra en x. Se define en cada estado base:
con ligera ambigüedad cuando una partícula ya está en x.
Otro operador elimina una partícula en x, y se llama . Este operador es el conjugado del operador. Porque no tiene elementos de matriz que se conecten a estados sin partículas en x, debe dar cero al actuar en tal estado.
La base de la posición es una forma inconveniente de entender las partículas coincidentes porque los estados con una partícula localizada en un punto tienen energía infinita, por lo que la intuición es difícil. Para ver qué sucede cuando dos partículas están exactamente en el mismo punto, es matemáticamente más simple convertir el espacio en una red discreta o transformar el campo de Fourier en un volumen finito.
El operador
crea una superposición de estados de una partícula en un estado de onda plana con impulso k, en otras palabras, produce una nueva partícula con impulso k. El operador
aniquila una partícula con impulso k.
Si la energía potencial para la interacción de partículas infinitamente distantes se desvanece, los operadores transformados de Fourier en volumen infinito crean estados que no interactúan. Los estados están infinitamente dispersos y la probabilidad de que las partículas estén cerca es cero.
Los elementos de la matriz para los operadores entre puntos no coincidentes reconstruyen los elementos de la matriz de la transformada de Fourier entre todos los modos:
donde la función delta es la función delta de Dirac o el delta de Kronecker , dependiendo de si el volumen es infinito o finito.
Las relaciones de conmutación ahora determinan los operadores por completo, y cuando el volumen espacial es finito, no hay ningún obstáculo conceptual para comprender los momentos coincidentes porque los momentos son discretos. En una base de impulso discreto, los estados base son:
donde las n son el número de partículas en cada momento. Para fermiones y anyones, el número de partículas en cualquier momento es siempre cero o uno. Los operadores tienen elementos de matriz tipo oscilador armónico entre estados, independientemente de la interacción:
Para que el operador
cuenta el número total de partículas.
Ahora es fácil ver que los elementos de la matriz de y también tienen relaciones de conmutación de oscilador armónico.
De modo que realmente no hay dificultad con partículas coincidentes en el espacio de posición.
El operador que elimina y reemplaza una partícula, actúa como un sensor para detectar si una partícula está presente en x. El operadoractúa para multiplicar el estado por el gradiente de la función de onda de muchos cuerpos. El operador
actúa para reproducir el lado derecho de la ecuación de Schrödinger cuando actúa sobre cualquier estado base, de modo que
se mantiene como una ecuación de operador. Dado que esto es cierto para un estado arbitrario, también es cierto sin la.
Para agregar interacciones, agregue términos no lineales en las ecuaciones de campo. El formulario de campo asegura automáticamente que los potenciales obedezcan las restricciones de simetría.
Campo hamiltoniano
El campo hamiltoniano que reproduce las ecuaciones de movimiento es
Las ecuaciones de movimiento de Heisenberg para este operador reproducen la ecuación de movimiento para el campo.
Para encontrar el campo clásico lagrangiano, aplique una transformada de Legendre al límite clásico del hamiltoniano.
Aunque esto es correcto de manera clásica, la transformación de la mecánica cuántica no es completamente sencilla desde el punto de vista conceptual porque la integral de trayectoria está por encima de los valores propios de los operadores ψ que no son hermitianos y cuyos valores propios no son ortogonales. La integral de trayectoria sobre estados de campo, por lo tanto, parece ingenuamente estar contando en exceso. Este no es el caso, porque el término derivado del tiempo en L incluye la superposición entre los diferentes estados de campo.
Relación con el campo de Klein-Gordon
El límite no relativista como de cualquier campo de Klein-Gordon hay dos campos de Schrödinger, que representan la partícula y la antipartícula. Para mayor claridad, todas las unidades y constantes se conservan en esta derivación. Desde los operadores de aniquilación del espacio de impulso. del campo relativista, se define
- ,
tal que . Definición de dos campos "no relativistas" y ,
- ,
que factorizan una fase de oscilación rápida debido a la masa en reposo más un vestigio de la medida relativista, la densidad lagrangiana se convierte en
donde términos proporcionales a se representan con elipses y desaparecen en el límite no relativista. Cuando se expande el gradiente de cuatro , la divergencia total se ignora y los términos son proporcionales aTambién desaparecen en el límite no relativista. Después de una integración por partes,
El lagrangiano final toma la forma [2]
- .