En mecánica cuántica, el potencial delta es un potencial bien descrito matemáticamente por la función delta de Dirac , una función generalizada . Cualitativamente, corresponde a un potencial que es cero en todas partes, excepto en un solo punto, donde toma un valor infinito. Esto se puede utilizar para simular situaciones en las que una partícula puede moverse libremente en dos regiones del espacio con una barrera entre las dos regiones. Por ejemplo, un electrón puede moverse casi libremente en un material conductor, pero si dos superficies conductoras se colocan juntas, la interfaz entre ellas actúa como una barrera para el electrón que puede aproximarse por un potencial delta.
El pozo de potencial delta es un caso límite del pozo de potencial finito , que se obtiene si se mantiene constante el producto del ancho del pozo y el potencial mientras se disminuye el ancho del pozo y se aumenta el potencial.
Este artículo, por simplicidad, solo considera un pozo potencial unidimensional, pero el análisis podría expandirse a más dimensiones.
Potencial delta único
La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para la función de onda ψ ( x ) de una partícula en una dimensión en un potencial V ( x ) es
donde ħ es la constante de Planck reducida y E es la energía de la partícula.
El potencial delta es el potencial
donde δ ( x ) es la función delta de Dirac .
Se denomina pozo de potencial delta si λ es negativo y barrera de potencial delta si λ es positivo. Se ha definido que el delta ocurre en el origen por simplicidad; un cambio en el argumento de la función delta no cambia ninguno de los resultados del procedimiento.
Resolver la ecuación de Schrödinger [1]
El potencial divide el espacio en dos partes ( x <0 y x > 0). En cada una de estas partes, la energía potencial es cero y la ecuación de Schrödinger se reduce a
esta es una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes , cuyas soluciones son combinaciones lineales de e ikx y e - ikx , donde el número de onda k está relacionado con la energía por
En general, debido a la presencia del potencial delta en el origen, los coeficientes de la solución no necesitan ser los mismos en ambos semiespacios:
donde, en el caso de energías positivas ( k real ), e ikx representa una onda que viaja hacia la derecha y e - ikx una que viaja hacia la izquierda.
Se obtiene una relación entre los coeficientes imponiendo que la función de onda sea continua en el origen:
Se puede encontrar una segunda relación al estudiar la derivada de la función de onda. Normalmente, también podríamos imponer diferenciación en el origen, pero esto no es posible debido al potencial delta. Sin embargo, si integramos la ecuación de Schrödinger alrededor de x = 0, en un intervalo [- ε , + ε ]:
En el límite cuando ε → 0, el lado derecho de esta ecuación desaparece; el lado izquierdo se convierte en
porque
Sustituyendo la definición de ψ en esta expresión se obtiene
Por tanto, las condiciones de contorno dan las siguientes restricciones sobre los coeficientes
Estado obligado ( E <0)
En cualquier potencial atractivo unidimensional habrá un estado ligado . Para encontrar su energía, observe que para E <0, k = i √ 2 m | E | / ħ = iκ es imaginaria, y las funciones de onda que oscilaban para energías positivas en el cálculo anterior ahora son funciones de x crecientes o decrecientes exponencialmente (ver arriba). Requerir que las funciones de onda no diverjan en el infinito elimina la mitad de los términos: A r = B l = 0. La función de onda es entonces
De las condiciones de contorno y las condiciones de normalización, se deduce que
de lo que se sigue que λ debe ser negativo, es decir, el estado ligado solo existe para el pozo y no para la barrera. La transformada de Fourier de esta función de onda es una función de Lorentz .
La energía del estado ligado es entonces
Dispersión ( E > 0)
Para energías positivas, la partícula es libre de moverse en cualquier medio espacio: x <0 ox > 0. Puede estar dispersa en el potencial de función delta.
El caso cuántico se puede estudiar en la siguiente situación: una partícula que incide en la barrera desde el lado izquierdo ( A r ) . Puede reflejarse ( A l ) o transmitirse ( B r ) . Para encontrar las amplitudes de reflexión y transmisión de incidencia desde la izquierda, colocamos en las ecuaciones anteriores A r = 1 (partícula entrante), A l = r (reflexión), B l = 0 (sin partícula entrante desde la derecha) y B r = t (transmisión), y resuelva para r y t aunque no tengamos ninguna ecuación en t . El resultado es
Debido a la simetría especular del modelo, las amplitudes de incidencia de la derecha son las mismas que las de la izquierda. El resultado es que hay una probabilidad distinta de cero
para que la partícula se refleje. Esto no depende del signo de λ , es decir, una barrera tiene la misma probabilidad de reflejar la partícula como un pozo. Esta es una diferencia significativa con la mecánica clásica, donde la probabilidad de reflexión sería 1 para la barrera (la partícula simplemente rebota) y 0 para el pozo (la partícula pasa a través del pozo sin ser molestada).
En resumen, la probabilidad de transmisión es
Observaciones y aplicación
El cálculo presentado anteriormente puede parecer al principio poco realista y poco útil. Sin embargo, ha demostrado ser un modelo adecuado para una variedad de sistemas de la vida real.
Un ejemplo de este tipo se refiere a las interfaces entre dos materiales conductores . En la mayor parte de los materiales, el movimiento de los electrones es casi libre y puede describirse mediante el término cinético en el hamiltoniano anterior con una masa efectiva m . A menudo, las superficies de dichos materiales están cubiertas con capas de óxido o no son ideales por otras razones. Esta capa delgada, no conductora, puede modelarse luego mediante un potencial de función delta local como se indicó anteriormente. Los electrones pueden hacer un túnel de un material a otro dando lugar a una corriente.
El funcionamiento de un microscopio de efecto túnel (STM) se basa en este efecto de efecto túnel. En ese caso, la barrera se debe al aire entre la punta del STM y el objeto subyacente. La fuerza de la barrera está relacionada con que la separación sea más fuerte cuanto más separados estén los dos. Para obtener un modelo más general de esta situación, consulte Barrera de potencial finito (QM) . La barrera de potencial de la función delta es el caso límite del modelo allí considerado para barreras muy altas y estrechas.
El modelo anterior es unidimensional, mientras que el espacio que nos rodea es tridimensional. Entonces, de hecho, uno debería resolver la ecuación de Schrödinger en tres dimensiones. Por otro lado, muchos sistemas solo cambian a lo largo de una dirección de coordenadas y son traslacionalmente invariantes a lo largo de las demás. La ecuación de Schrödinger puede entonces reducirse al caso considerado aquí por un Ansatz para la función de onda del tipo.
Alternativamente, es posible generalizar la función delta para que exista en la superficie de algún dominio D (ver Laplaciano del indicador ). [2]
El modelo de función delta es en realidad una versión unidimensional del átomo de hidrógeno de acuerdo con el método de escala dimensional desarrollado por el grupo de Dudley R. Herschbach [3] El modelo de función delta se vuelve particularmente útil con el modelo de función delta de Dirac de pozo doble que representa una versión unidimensional del ion de la molécula de hidrógeno , como se muestra en la siguiente sección.
Potencial doble delta
La función delta de Dirac de doble pozo modela una molécula de hidrógeno diatómico mediante la ecuación de Schrödinger correspondiente:
donde está el potencial ahora
dónde es la distancia "internuclear" con picos de función delta de Dirac (negativos) ubicados en x = ± R / 2 (mostrados en marrón en el diagrama). Teniendo en cuenta la relación de este modelo con su contraparte molecular tridimensional, utilizamos unidades atómicas y establecemos. Aquíes un parámetro formalmente ajustable. Del caso de un solo pozo, podemos inferir el " ansatz " para que la solución sea
La coincidencia de la función de onda en los picos de la función delta de Dirac produce el determinante
Por lo tanto, se encuentra gobernado por la ecuación pseudo-cuadrática
que tiene dos soluciones . Para el caso de cargas iguales (caso homonuclear simétrico), λ = 1, y la pseudo-cuadrática se reduce a
El caso "+" corresponde a una función de onda simétrica con respecto al punto medio (mostrado en rojo en el diagrama), donde A = B , y se llama gerade . En consecuencia, el caso "-" es la función de onda que es antisimétrica con respecto al punto medio, donde A = - B , y se llama ungerade (que se muestra en verde en el diagrama). Representan una aproximación de los dos estados de energía discretos más bajos de la estructura tridimensional.y son útiles en su análisis. Las soluciones analíticas para los valores propios de energía para el caso de cargas simétricas están dadas por [4]
donde W es la función W estándar de Lambert . Tenga en cuenta que la energía más baja corresponde a la solución simétrica. En el caso de cargas desiguales , y para el caso del problema molecular tridimensional, las soluciones vienen dadas por una generalización de la función de Lambert W (ver sección sobre generalización de la función de Lambert W y referencias aquí).
Uno de los casos más interesantes es cuando qR ≤ 1, lo que resulta en. Por lo tanto, uno tiene una solución de estado ligado no trivial con E = 0. Para estos parámetros específicos, hay muchas propiedades interesantes que ocurren, una de las cuales es el efecto inusual de que el coeficiente de transmisión es la unidad a energía cero. [5]
Ver también
- Partícula libre
- Partícula en una caja
- Pozo de potencial finito
- Función Lambert W
- Partícula en un anillo
- Partícula en un potencial esférico simétrico
- Oscilador armónico cuántico
- Átomo de hidrógeno o átomo similar al hidrógeno
- Guía de ondas de anillo
- Partícula en una red unidimensional (potencial periódico)
- Ion molecular de hidrógeno
- Método de Holstein-Herring
- Laplaciano del indicador
- Lista de sistemas de mecánica cuántica con soluciones analíticas
Referencias
- ^ "mecánica cuántica - función de onda con un potencial delta" . Intercambio de pila de física . Consultado el 29 de marzo de 2021 .
- ^ Lange, Rutger-Jan (2012), "Teoría del potencial, integrales de ruta y el laplaciano del indicador", Journal of High Energy Physics , 2012 (11): 1-49, arXiv : 1302.0864 , Bibcode : 2012JHEP ... 11. .032L , doi : 10.1007 / JHEP11 (2012) 032
- ^ DR Herschbach , JS Avery y O. Goscinski (eds.), Escala dimensional en física química , Springer, (1992). [1]
- ^ T. C. Scott, J. F. Babb, A. Dalgarno y John D. Morgan III, "El cálculo de las fuerzas de intercambio: resultados generales y modelos específicos" , J. Chem. Phys. , 99, págs. 2841-2854, (1993).
- ^ W. van Dijk y KA Kiers, "Retraso de tiempo en sistemas unidimensionales simples" , Am. J. Phys. , 60, págs. 520-527, (1992).
- Griffiths, David J. (2005). Introducción a la Mecánica Cuántica (2ª ed.). Prentice Hall. págs. 68–78. ISBN 978-0-13-111892-8.
- Para el caso tridimensional, busque el "potencial de capa delta"; ver además K. Gottfried (1966), Quantum Mechanics Volume I: Fundamentals , cap. III, sec. 15.
enlaces externos
- Medios relacionados con el potencial delta en Wikimedia Commons