Dualidad de Schur-Weyl
La dualidad de Schur-Weyl es un teorema matemático en la teoría de la representación que relaciona representaciones irreducibles de dimensión finita de los grupos lineales y simétricos generales . Lleva el nombre de dos pioneros de la teoría de la representación de los grupos de Lie , Issai Schur , quien descubrió el fenómeno, y Hermann Weyl , quien lo popularizó en sus libros sobre mecánica cuántica y grupos clásicos como una forma de clasificar las representaciones de grupos unitarios y lineales generales.
La dualidad de Schur-Weyl forma una situación arquetípica en la teoría de la representación que involucra dos tipos de simetría que se determinan entre sí. Considere el espacio tensorial
El grupo lineal general GL n de matrices invertibles n × n actúa sobre él mediante la multiplicación simultánea de matrices ,
Estas dos acciones conmutan , y en su forma concreta, la dualidad Schur-Weyl afirma que bajo la acción conjunta de los grupos S k y GL n , el espacio tensorial se descompone en una suma directa de productos tensoriales de módulos irreducibles (para estos dos grupos ) que en realidad se determinan mutuamente,
Los sumandos están indexados por los diagramas de Young D con k cajas y como máximo n filas, y las representaciones de S k con diferentes D son mutuamente no isomorfas, y lo mismo es cierto para las representaciones de GL n .
La forma abstracta de la dualidad de Schur-Weyl afirma que dos álgebras de operadores en el espacio tensorial generado por las acciones de GL n y S k son los centralizadores mutuos completos en el álgebra de los endomorfismos
