En el análisis complejo , un mapeo de Schwarz-Christoffel es una transformación conforme del semiplano superior al interior de un polígono simple . Los mapeos de Schwarz-Christoffel se utilizan en la teoría del potencial y en algunas de sus aplicaciones, incluidas las superficies mínimas , el arte hiperbólico y la dinámica de fluidos . Llevan el nombre de Elwin Bruno Christoffel y Hermann Amandus Schwarz .
Definición
Considere un polígono en el plano complejo. El teorema de mapeo de Riemann implica que hay un mapeo biholomórfico f desde el semiplano superior
al interior del polígono. La función f mapea el eje real a los bordes del polígono. Si el polígono tiene ángulos interiores , entonces este mapeo viene dado por
dónde es una constante , y son los valores, a lo largo del eje real de la plano, de puntos correspondientes a los vértices del polígono en el avión. Una transformación de esta forma se denomina mapeo de Schwarz-Christoffel .
La integral se puede simplificar mapeando el punto en el infinito de la plano a uno de los vértices del polígono plano. Al hacer esto, el primer factor en la fórmula se vuelve constante y por lo tanto puede ser absorbido en la constante. Convencionalmente, el punto en el infinito se asignaría al vértice con un ángulo.
En la práctica, para encontrar un mapeo a un polígono específico, es necesario encontrar el valores que generan las longitudes correctas de los lados del polígono. Esto requiere resolver un conjunto de ecuaciones no lineales y, en la mayoría de los casos, solo se puede hacer numéricamente . [1]
Ejemplo
Considere una franja semiinfinita en el plano z . Esto puede considerarse como una forma límite de un triángulo con vértices P = 0 , Q = π i y R (con R real), ya que R tiende a infinito. Ahora α = 0 y β = γ = π ⁄ 2 en el límite. Supongamos que estamos buscando la cartografía f con f (-1) = Q , f (1) = P , y f (∞) = R . Entonces f viene dada por
Evaluación de esta integral rinde
donde C es una constante (compleja) de integración. Requerir que f (−1) = Q y f (1) = P da C = 0 y K = 1 . Por lo tanto, el mapeo de Schwarz-Christoffel viene dado por
Esta transformación se esboza a continuación.
Otras asignaciones simples
Triángulo
Un mapeo a un triángulo plano con ángulos interiores y es dado por
que se puede expresar en términos de funciones hipergeométricas .
Cuadrado
El semiplano superior se asigna al cuadrado mediante
donde F es la integral elíptica incompleta del primer tipo.
Triángulo general
El semiplano superior se asigna a un triángulo con arcos circulares para los bordes mediante el mapa de triángulos de Schwarz .
Ver también
- El derivado de Schwarz aparece en la teoría de los mapeos de Schwarz-Christoffel.
Referencias
- ^ Driscoll, Toby. "Mapeo de Schwarz-Christoffel" . www.math.udel.edu . Consultado el 17 de mayo de 2021 .
- Driscoll, Tobin A .; Trefethen, Lloyd N. (2002), mapeo de Schwarz-Christoffel , Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, 8 , Cambridge University Press, doi : 10.1017 / CBO9780511546808 , ISBN 978-0-521-80726-5, MR 1908657
- Nehari, Zeev (1982) [1952], Conformal mapping , Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-61137-2, MR 0045823
- The Conformal Hyperbolic Square y su Ilk Chamberlain Fong, Actas de la conferencia Bridges Finland, 2016
Otras lecturas
Un análogo del mapeo SC que funciona también para conexiones múltiples se presenta en: Case, James (2008), "Breakthrough in Conformal Mapping" (PDF) , SIAM News , 41 (1).