modelo de disco de Poincaré

En geometría, el modelo de disco de Poincaré , también llamado modelo de disco conforme , es un modelo de geometría hiperbólica bidimensional en el que los puntos de la geometría están dentro del disco unitario y las líneas rectas consisten en todos los arcos circulares contenidos dentro de ese disco. que son ortogonales al límite del disco, más todos los diámetros del disco.

El grupo de isometrías que preservan la orientación del modelo de disco está dado por el grupo unitario especial proyectivo PSU(1,1) , el cociente del grupo unitario especial SU(1,1) por su centro { I , − I } .

Junto con el modelo de Klein y el modelo del semiespacio de Poincaré , fue propuesto por Eugenio Beltrami , quien utilizó estos modelos para demostrar que la geometría hiperbólica era equiconsistente con la geometría euclidiana . Lleva el nombre de Henri Poincaré , porque su redescubrimiento de esta representación catorce años después se hizo más conocida que la obra original de Beltrami. [1]

El modelo de bola de Poincaré es el modelo similar para la geometría hiperbólica de 3 o n dimensiones en la que los puntos de la geometría están en la bola unitaria de n dimensiones .

Las líneas rectas hiperbólicas consisten en todos los arcos de círculos euclidianos contenidos dentro del disco que son ortogonales al límite del disco, más todos los diámetros del disco.

La única línea hiperbólica que pasa por dos puntos y no sobre un diámetro del círculo límite se puede construir mediante:

Disco de Poincaré con paralelas hiperbólicas
Modelo de disco de Poincaré del mosaico triheptagonal truncado .
Disco de Poincaré con 3 líneas rectas ultraparalelas (hiperbólicas)
Vista del modelo de ' bola ' de Poincaré del panal icosaédrico regular hiperbólico , {3,5,3}
el modelo del disco de Poincaré (línea P ), y sus relaciones con los otros modelos
El modelo hiperboloide se puede representar como la ecuación t 2 =x 1 2 +x 2 2 +1, t>1. Se puede usar para construir un modelo de disco de Poincaré como una proyección vista desde (t=-1,x 1 =0,x 2 =0), proyectando la mitad superior del hiperboloide en el disco unitario en t=0. La geodésica roja en el modelo de disco de Poincaré se proyecta a la geodésica marrón en el hiperboloide verde.
Animación de un mosaico hiperbólico {7,3} parcial del hiperboloide rotado en la perspectiva de Poincaré.
El mosaico hiperbólico triangular (6,4,2) que inspiró a MC Escher