En matemáticas , un mapa conforme es una función que conserva localmente ángulos , pero no necesariamente longitudes.
Más formalmente, dejemos y ser subconjuntos abiertos de . Una funciónse llama conforme (o preservador de ángulo ) en un puntosi conserva ángulos entre curvas dirigidas a través de, además de preservar la orientación. Los mapas conformales conservan tanto los ángulos como las formas de figuras infinitesimalmente pequeñas, pero no necesariamente su tamaño o curvatura .
La propiedad conforme se puede describir en términos de la matriz derivada jacobiana de una transformación de coordenadas . La transformación es conforme siempre que el jacobiano en cada punto sea un escalar positivo multiplicado por una matriz de rotación ( ortogonal con determinante). Algunos autores definen la conformidad para incluir asignaciones de inversión de orientación cuyos jacobianos se pueden escribir como cualquier escalar multiplicado por cualquier matriz ortogonal. [1]
Para los mapeos en dos dimensiones, los mapeos conformes (que conservan la orientación) son precisamente las funciones analíticas complejas localmente invertibles . En tres dimensiones o más, el teorema de Liouville limita marcadamente los mapeos conformes a unos pocos tipos.
La noción de conformidad se generaliza de forma natural a mapas entre variedades riemannianas o semi-riemannianas .
Mapas conformales en dos dimensiones
Si es un subconjunto abierto del plano complejo, luego una función es conforme si y solo si es holomórfico y su derivada es en todas partes distinta de cero en. Sies antiholomórfico ( conjugado a una función holomórfica), conserva los ángulos pero invierte su orientación.
En la literatura, existe otra definición de conforme: un mapeo que es uno a uno y holomórfico en un conjunto abierto en el plano. El teorema de mapeo abierto fuerza la función inversa (definida en la imagen de) ser holomórfico. Por lo tanto, bajo esta definición, un mapa es conforme si y solo si es biholomórfico. Las dos definiciones de mapas conformes no son equivalentes. Ser uno a uno y holomórfico implica tener una derivada distinta de cero. Sin embargo, la función exponencial es una función holomórfica con una derivada distinta de cero, pero no es uno a uno ya que es periódica. [2]
El teorema de mapeo de Riemann , uno de los resultados profundos del análisis complejo , establece que cualquier subconjunto abierto no vacío simplemente conectado deadmite un mapa conforme biyectivo en el disco unitario abierto en.
Mapas conformes globales en la esfera de Riemann
Un mapa de la esfera de Riemann sobre sí mismo es conforme si y solo si es una transformación de Möbius .
El complejo conjugado de una transformación de Möbius conserva los ángulos, pero invierte la orientación. Por ejemplo, inversiones circulares .
Mapas conformales en tres o más dimensiones
Geometría riemanniana
En geometría riemanniana , dos métricas riemannianas y en un colector liso se llaman conformemente equivalentes si para alguna función positiva en . La funciónse llama factor de conformidad .
Un difeomorfismo entre dos variedades de Riemann se llama mapa conforme si la métrica retirada es conforme a la original. Por ejemplo, la proyección estereográfica de una esfera en el plano aumentado con un punto en el infinito es un mapa conforme.
También se puede definir una estructura conforme en una variedad suave, como una clase de métricas riemannianas conformemente equivalentes .
Espacio euclidiano
Un teorema clásico de Joseph Liouville muestra que hay muchos menos mapas conformes en dimensiones más altas que en dos dimensiones. Cualquier mapa conforme en una porción del espacio euclidiano de dimensión tres o mayor puede estar compuesto por tres tipos de transformaciones: una homotecia , una isometría y una transformación conforme especial .
Aplicaciones
Cartografía
En cartografía , varias proyecciones de mapas con nombre , incluida la proyección de Mercator y la proyección estereográfica, son conformes. Son especialmente útiles para su uso en la navegación marítima debido a su propiedad única de representar cualquier rumbo de rumbo constante como un segmento recto. Este curso, conocido como rumbo (o, matemáticamente, loxódromo) se prefiere en la navegación marina porque los barcos pueden navegar en una dirección constante de la brújula.
Física e ingeniería
Los mapeos conformales son invaluables para resolver problemas en ingeniería y física que pueden expresarse en términos de funciones de una variable compleja pero exhiben geometrías inconvenientes. Al elegir un mapeo apropiado, el analista puede transformar la geometría inconveniente en una mucho más conveniente. Por ejemplo, uno puede desear calcular el campo eléctrico,, que surge de una carga puntual ubicada cerca de la esquina de dos planos conductores separados por un cierto ángulo (donde es la coordenada compleja de un punto en 2 espacios). Este problema en sí mismo es bastante torpe de resolver en forma cerrada. Sin embargo, al emplear un mapeo conforme muy simple, el ángulo inconveniente se mapea a uno deradianes, lo que significa que la esquina de dos planos se transforma en una línea recta. En este nuevo dominio, el problema (el de calcular el campo eléctrico impreso por una carga puntual ubicada cerca de una pared conductora) es bastante fácil de resolver. La solución se obtiene en este dominio,y, a continuación, se asignó de nuevo al dominio original al señalar que se obtuvo en función ( es decir , la composición de y ) de , de donde se puede ver como , que es una función de , la base de coordenadas original. Tenga en cuenta que esta aplicación no contradice el hecho de que las asignaciones conformes conservan los ángulos, lo hacen solo para puntos en el interior de su dominio y no en el límite. Otro ejemplo es la aplicación de la técnica de mapeo conforme para resolver el problema del valor límite del derrame de líquido en los tanques. [3]
Si una función es armónica (es decir, satisface la ecuación de Laplace ) sobre un dominio plano (que es bidimensional), y se transforma mediante un mapa conforme a otro dominio plano, la transformación también es armónica. Por esta razón, cualquier función que esté definida por un potencial puede ser transformada por un mapa conforme y aún permanecer gobernada por un potencial. Los ejemplos en física de ecuaciones definidas por un potencial incluyen el campo electromagnético , el campo gravitacional y, en dinámica de fluidos , el flujo potencial , que es una aproximación al flujo de fluidos asumiendo densidad constante , viscosidad cero y flujo irrotacional . Un ejemplo de una aplicación dinámica de fluidos de un mapa conforme es la transformada de Joukowsky .
Los mapas conformales también son valiosos para resolver ecuaciones diferenciales parciales no lineales en algunas geometrías específicas. Estas soluciones analíticas proporcionan una verificación útil de la precisión de las simulaciones numéricas de la ecuación gobernante. Por ejemplo, en el caso de un flujo de superficie libre muy viscoso alrededor de una pared semiinfinita, el dominio se puede mapear en un semiplano en el que la solución es unidimensional y fácil de calcular. [4]
Para los sistemas discretos, Noury y Yang presentaron una forma de convertir el lugar de las raíces de los sistemas discretos en el lugar de las raíces continuo a través de un mapeo conformal bien conocido en geometría (también conocido como mapeo de inversión ). [5]
Ecuaciones de Maxwell
Ebenezer Cunningham (1908) y Harry Bateman (1910) identificaron un gran grupo de mapas conformes para relacionar soluciones de las ecuaciones de Maxwell . Su formación en la Universidad de Cambridge les había facilitado el método de carga de imágenes y los métodos asociados de imágenes para esferas e inversión. Según lo relatado por Andrew Warwick (2003) Masters of Theory : [6]
- Cada solución de cuatro dimensiones podría invertirse en una hiper-esfera de cuatro dimensiones de pseudo-radio. para producir una nueva solución.
Warwick destaca este "nuevo teorema de la relatividad" como una respuesta de Cambridge a Einstein, y como se basa en ejercicios que utilizan el método de inversión, como el que se encuentra en el libro de texto de James Hopwood Jeans Teoría matemática de la electricidad y el magnetismo .
Relatividad general
En la relatividad general , los mapas conformes son el tipo más simple y, por lo tanto, más común de transformaciones causales. Físicamente, estos describen diferentes universos en los que todos los mismos eventos e interacciones son todavía (causalmente) posibles, pero se necesita una nueva fuerza adicional para lograr esto (es decir, la replicación de todas las mismas trayectorias requeriría desviaciones del movimiento geodésico porque la métrica tensor es diferente). A menudo se usa para intentar hacer modelos susceptibles de extensión más allá de las singularidades de curvatura , por ejemplo, para permitir la descripción del universo incluso antes del Big Bang .
Ver también
- Teorema de Carathéodory : un mapa conforme se extiende continuamente hasta el límite
- Diagrama de Penrose
- Mapeo de Schwarz-Christoffel : una transformación conforme del semiplano superior al interior de un polígono simple
- Grupo lineal especial : transformaciones que conservan el volumen (a diferencia de los ángulos) y la orientación.
Referencias
- ↑ Blair, David (17 de agosto de 2000). Teoría de la inversión y mapeo conformal . La biblioteca matemática estudiantil. 9 . Providence, Rhode Island: Sociedad Americana de Matemáticas. doi : 10.1090 / stml / 009 . ISBN 978-0-8218-2636-2. S2CID 118752074 .
- ^ Richard M. Timoney (2004), Teorema de mapeo de Riemann del Trinity College, Dublín
- ^ Kolaei, Amir; Rakheja, Subhash; Richard, Marc J. (6 de enero de 2014). "Rango de aplicabilidad de la teoría del chapoteo de fluido lineal para predecir el chapoteo lateral transitorio y la estabilidad de balanceo de los vehículos tanque". Revista de sonido y vibración . 333 (1): 263–282. Código Bibliográfico : 2014JSV ... 333..263K . doi : 10.1016 / j.jsv.2013.09.002 .
- ^ Hinton, Edward; Hogg, Andrew; Huppert, Herbert (2020). "Stokes de superficie libre poco profunda fluyen alrededor de una esquina". Philosophical Transactions de la Royal Society A . 378 (2174). doi : 10.1098 / rsta.2019.0515 . PMC 7287310. PMID 32507085 .
- ^ Noury, Keyvan; Yang, Bingen (2020). "Un mapeo del plano S de Psuedo del lugar de las raíces del plano Z" . Congreso y Exposición Internacional de Ingeniería Mecánica ASME 2020 . Sociedad Americana de Ingenieros Mecánicos. doi : 10.1115 / IMECE2020-23096 . ISBN 978-0-7918-8454-6.
- ^ Warwick, Andrew (2003). Maestros de la teoría: Cambridge y el auge de la física matemática . Prensa de la Universidad de Chicago . págs. 404–424 . ISBN 978-0226873756.
Otras lecturas
- Ahlfors, Lars V. (1973), Invariantes conformales: temas de la teoría de funciones geométricas , Nueva York: McGraw – Hill Book Co., MR 0357743
- Constantin Carathéodory (1932) Representación conforme , Cambridge Tracts in Mathematics and Physics
- Chanson, H. (2009), Hidrodinámica aplicada: Introducción a los flujos de fluidos ideales y reales , CRC Press, Taylor & Francis Group, Leiden, Países Bajos, 478 páginas, ISBN 978-0-415-49271-3
- Churchill, Ruel V. (1974), Variables complejas y aplicaciones , Nueva York: McGraw – Hill Book Co., ISBN 978-0-07-010855-4
- EP Dolzhenko (2001) [1994], "Mapeo conformal" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Rudin, Walter (1987), Análisis real y complejo (3ª ed.), Nueva York: McGraw – Hill Book Co., ISBN 978-0-07-054234-1, MR 0924157
- Weisstein, Eric W. "Conformal Mapping" . MathWorld .
enlaces externos
- Visualizaciones interactivas de muchos mapas conformes
- Mapas conformales por Michael Trott, Wolfram Demonstrations Project .
- Imágenes de mapeo conformal del flujo de corriente en diferentes geometrías sin y con campo magnético por Gerhard Brunthaler.
- Transformación conformal: de círculo a cuadrado .
- Graficador de mapas conformado en línea .
- Aplicación web interactiva Joukowski Transform
- Un mapeo conforme elaborado por MC Escher