En geometría de plano elemental , la potencia de un punto es un número real que refleja la distancia relativa de un punto dado a un círculo dado. Fue introducido por Jakob Steiner en 1826. [1]
Específicamente, el poder de un punto con respecto a un círculo con centro y radio es definido por
Si está fuera del círculo, que,
siestá en el círculo, quey
siestá dentro del círculo, que.
Debido al teorema de Pitágoras, el número tiene los significados geométricos simples que se muestran en el diagrama: Para un punto fuera del circulo es la distancia tangencial al cuadrado de punto al circulo .
Puntos con igual poder, isolíneas de, son círculos concéntricos al círculo.
Steiner usó el poder de un punto para probar varias declaraciones en círculos, por ejemplo:
- Determinación de un círculo que interseca cuatro círculos por el mismo ángulo. [2]
- Resolviendo el problema de Apolonio
- Construcción de los círculos de Malfatti : [3] Para un triángulo dado, determine tres círculos, que se tocan entre sí y dos lados del triángulo cada uno.
- Versión esférica del problema de Malfatti: [4] El triángulo es esférico.
Las herramientas esenciales para la investigación en círculos son el eje radical de dos círculos y el centro radical de tres círculos.
El diagrama de potencia de un conjunto de círculos divide el plano en regiones dentro de las cuales el círculo que minimiza la potencia es constante.
De manera más general, el matemático francés Edmond Laguerre definió la potencia de un punto con respecto a cualquier curva algebraica de manera similar.
Propiedades geometricas
Además de las propiedades mencionadas en el prospecto, existen otras propiedades:
Círculo ortogonal
Por cualquier punto fuera del circulo hay dos puntos tangentes en círculo , que tienen la misma distancia a . De ahí el círculo con centro mediante pasa , también, y se cruza ortogonal:
- El circulo con centro y radio interseca el círculo ortogonal .
Si el radio del círculo centrado en es diferente de se obtiene el ángulo de intersección entre los dos círculos aplicando la Ley de los cosenos (ver el diagrama):
( y son normales a las tangentes del círculo).
Si se encuentra dentro del círculo azul, luego y siempre es diferente de .
Si el ángulo se da, luego se obtiene el radio resolviendo la ecuación cuadrática
- .
Teorema de la intersección de las secantes, teorema de la intersección de las cuerdas
Para el teorema de las secantes intersectantes y el teorema de la cuerda, la potencia de un punto juega el papel de una invariante :
- Teorema de la intersección de las secantes : para un punto fuera de un círculo y los puntos de intersección de una línea secante con la siguiente afirmación es verdadera: , por lo tanto, el producto es independiente de la línea . Si es tangente entonces y el enunciado es el teorema de la tangente-secante .
- Teorema de la intersección de los acordes : para un punto dentro de un circulo y los puntos de intersección de una línea secante con la siguiente afirmación es verdadera: , por lo tanto, el producto es independiente de la línea .
Eje radical
Dejar ser un punto y dos círculos no concéntricos con centros y radios . Punto Ten el poder con respecto al círculo . El conjunto de todos los puntos con es una línea llamada eje radical . Contiene posibles puntos comunes de los círculos y es perpendicular a la línea..
Teorema de las secantes, teorema de los acordes: demostración común
Ambos teoremas, incluido el teorema de la tangente-secante , se pueden probar de manera uniforme:
Dejar ser un punto, un círculo con el origen como su centro y un vector unitario arbitrario . Los parametros de posibles puntos comunes de la línea (mediante ) y círculo se puede determinar insertando la ecuación parmétrica en la ecuación del círculo:
Del teorema de Vieta se encuentra:
- . (independiente de !)
es el poder de con respeto por el circulo .
Porque uno obtiene la siguiente declaración para los puntos :
- , Si está fuera del círculo,
- , Si está dentro del círculo tienen diferentes signos!).
En caso de línea es una tangente y el cuadrado de la distancia tangencial del punto rodear .
Poder con respecto a una esfera
La idea de la potencia de un punto con respecto a un círculo puede extenderse a una esfera. [5] Los teoremas de las secantes y las cuerdas también son válidos para una esfera, y pueden demostrarse literalmente como en el caso del círculo.
Producto Darboux
La potencia de un punto es un caso especial del producto de Darboux entre dos círculos, que viene dado por [6]
donde A 1 y A 2 son los centros de los dos círculos y r 1 y r 2 son sus radios. La potencia de un punto surge en el caso especial de que uno de los radios sea cero.
Si los dos círculos son ortogonales, el producto Darboux desaparece.
Si los dos círculos se cruzan, entonces su producto Darboux es
donde φ es el ángulo de intersección (ver sección círculo ortogonal ).
Teorema de laguerre
Laguerre definió la potencia de un punto P con respecto a una curva algebraica de grado n como el producto de las distancias desde el punto a las intersecciones de un círculo a través del punto con la curva, dividido por la n- ésima potencia del diámetro d . Laguerre demostró que este número es independiente del diámetro ( Laguerre 1905 ). En el caso de que la curva algebraica sea un círculo, esto no es exactamente lo mismo que la potencia de un punto con respecto a un círculo definido en el resto de este artículo, pero difiere de él en un factor de d 2 .
Referencias
- ↑ Jakob Steiner: Einige geometrische Betrachtungen , 1826, S. 164
- ^ Steiner, pág. 163
- ^ Steiner, pág. 178
- ^ Steiner, pág. 182
- ^ KP Grothemeyer: Analytische Geometrie , Sammlung Göschen 65 / 65A, Berlín 1962, S. 54
- ↑ Pierre Larochelle, J. Michael McCarthy: Actas del Simposio 2020 USCToMM sobre sistemas mecánicos y robótica , 2020, Springer-Verlag, ISBN 978-3-030-43929-3, p. 97
- Coxeter, HSM (1969), Introducción a la geometría (2a ed.), Nueva York: Wiley.
- Darboux, Gaston (1872), "Sur les Relations entre les groupes de points, de cercles et de sphéres dans le plan et dans l'espace", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 1 : 323–392.
- Laguerre, Edmond (1905), Oeuvres de Laguerre: Géométrie (en francés), Gauthier-Villars et fils, p. 20
- Steiner, Jakob (1826), "Einige geometrische Betrachtungen", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1 : 161-184.
- Berger , Marcel (1987), Geometría I , Springer , ISBN 978-3-540-11658-5
Otras lecturas
- Ogilvy CS (1990), Excursiones en geometría , Publicaciones de Dover, págs. 6–23 , ISBN 0-486-26530-7
- Coxeter HSM , Greitzer SL (1967), Geometry Revisited , Washington : MAA , págs. 27–31, 159–160, ISBN 978-0-88385-619-2
- Johnson RA (1960), Geometría euclidiana avanzada: un tratado elemental sobre la geometría del triángulo y el círculo (reimpresión de la edición de 1929 de Houghton Miflin ed.), Nueva York: Dover Publications, págs. 28-34, ISBN 978-0-486-46237-0
enlaces externos
- Jacob Steiner y el poder de un punto de convergencia
- Weisstein, Eric W. "Poder del círculo" . MathWorld .
- Teorema de la intersección de los acordes al cortar el nudo
- Teorema de la intersección de los acordes con animación interactiva
- Teorema de intersección de secantes con animación interactiva