Relación de recurrencia
En matemáticas , una relación de recurrencia es una ecuación que expresa el n º plazo de una secuencia como una función de la k precedente términos, por alguna fijo k (independiente de n ), que se llama el orden de la relación. Una vez que se dan k términos iniciales de una secuencia, la relación de recurrencia permite calcular recursivamente todos los términos de la secuencia.
La mayoría de los resultados generales sobre las relaciones de recurrencia son sobre recurrencias lineales , que son relaciones de recurrencia tales que el n º plazo es lineal con respecto a sus términos anteriores. Entre ellos, las recurrencias lineales con coeficientes constantes y las recurrencias lineales con coeficientes polinomiales son especialmente importantes. En el primer caso, esto se debe a que se puede expresar el término general de la secuencia como una expresión de forma cerrada del índice del término. En el segundo caso, esto se debe a que muchas funciones elementales y especiales comunes tienen una serie de Taylor cuyos coeficientes satisfacen dicha relación de recurrencia (verfunción holonómica ).
El concepto se puede extender a matrices multidimensionales , es decir, familias indexadas que están indexadas por tuplas de números naturales .
Una relación de recurrencia es una ecuación que expresa cada elemento de una secuencia en función de los anteriores. Más precisamente, en el caso en el que solo está involucrado el elemento inmediatamente anterior, una relación de recurrencia tiene la forma
es una función, donde X es un conjunto al que deben pertenecer los elementos de una secuencia. Para cualquiera , esto define una secuencia única con su primer elemento, llamado valor inicial . [1]
Es fácil modificar la definición para obtener secuencias a partir del término del índice 1 o superior.