En matemáticas , el espacio de Seifert-Weber (introducido por Herbert Seifert y Constantin Weber) es una triple variedad hiperbólica cerrada . También se lo conoce como espacio dodecaédrico de Seifert-Weber y espacio dodecaédrico hiperbólico . Es uno de los primeros ejemplos descubiertos de tres variedades hiperbólicas cerradas.
Se construye pegando cada cara de un dodecaedro a su opuesto de una manera que produce una variedad tridimensional cerrada. Hay tres formas de hacer este encolado de manera consistente. Las caras opuestas están desalineadas en 1/10 de vuelta, por lo que para hacerlas coincidir deben rotarse 1/10, 3/10 o 5/10 de vuelta; una rotación de 3/10 da el espacio Seifert-Weber. La rotación de 1/10 da la esfera de homología de Poincaré , y la rotación de 5/10 da un espacio proyectivo real tridimensional .
Con el patrón de encolado de 3/10 de vuelta, los bordes del dodecaedro original se pegan entre sí en grupos de cinco. Así, en el espacio Seifert-Weber, cada borde está rodeado por cinco caras pentagonales y el ángulo diedro entre estos pentágonos es de 72 °. Esto no coincide con el ángulo diedro de 117 ° de un dodecaedro regular en el espacio euclidiano, pero en el espacio hiperbólico existen dodecaedros regulares con cualquier ángulo diedro entre 60 ° y 117 °, y el dodecaedro hiperbólico con ángulo diedro 72 ° puede usarse para dar el espacio Seifert-Weber una estructura geométrica como una variedad hiperbólica. Es un espacio cociente (volumen finito) del panal dodecaédrico (volumen no finito) de orden 5 , una teselación regular de 3 espacios hiperbólicos por dodecaedros con este ángulo diedro.
El espacio Seifert-Weber es una esfera de homología racional , y su primer grupo de homología es isomorfo a. William Thurston conjeturó que el espacio Seifert-Weber no es una variedad Haken , es decir, no contiene ninguna superficie incompresible; Burton, Rubinstein & Tillmann (2012) probaron la conjetura con la ayuda de su software de computadora Regina .
Referencias
- Barbieri, Elena; Cavicchioli, Alberto; Spaggiari, Fulvia (2009). "Algunas series de espacios en forma de panal" . La Revista de Matemáticas de las Montañas Rocosas . 39 (2): 381–398.
- Weber, Constantin; Seifert, Herbert (1933). "Die beiden Dodekaederräume". Mathematische Zeitschrift . 37 (1): 237–253. doi : 10.1007 / BF01474572 . Señor 1545392 .
- Thurston, William (1997), Levy, Silvio (ed.), Geometría y topología tridimensionales. Vol. 1 , Princeton Mathematical Series, 35 , Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press , ISBN 0-691-08304-5
- Burton, Benjamin A .; Rubinstein, J. Hyam ; Tillmann, Stephan (2012). "El espacio dodecaédrico de Weber-Seifert no es Haken". Transacciones de la American Mathematical Society . 364 : 911–932. arXiv : 0909.4625 . doi : 10.1090 / S0002-9947-2011-05419-X .
- Semanas, Jeffrey . La forma del espacio (2ª ed.). Marcel Dekker. págs. 219 . ISBN 978-0824707095.