En matemáticas , un colector de Haken es un compacto , P²-irreducible 3-colector que es suficientemente grande , lo que significa que contiene un correctamente encajado de dos caras superficie incompresible . A veces se consideran solo variedades Haken orientables, en cuyo caso una variedad Haken es una variedad tridimensional compacta, orientable e irreducible que contiene una superficie orientable e incompresible.
Se dice que un colector 3 finitamente cubierto por un colector Haken es virtualmente Haken . La conjetura de Virtually Haken afirma que toda variedad tridimensional compacta e irreducible con un grupo fundamental infinito es virtualmente Haken. Esta conjetura fue probada por Ian Agol . [1]
Las variedades Haken fueron introducidas por Wofgang Haken ( 1961 ). Haken (1962) demostró que las variedades de Haken tienen una jerarquía en la que se pueden dividir en 3 bolas a lo largo de superficies incompresibles. Haken también demostró que existía un procedimiento finito para encontrar una superficie incompresible si el 3-múltiple tenía una. William Jaco y Ulrich Oertel ( 1984 ) dieron un algoritmo para determinar si una variedad de 3 era Haken.
Las superficies normales son omnipresentes en la teoría de las variedades de Haken y su estructura simple y rígida conduce de forma bastante natural a los algoritmos.
Jerarquía de Haken
Consideraremos sólo el caso de variedades de Haken orientables , ya que esto simplifica la discusión; una vecindad regular de una superficie orientable en un colector 3 orientable es solo una versión "engrosada" de la superficie, es decir, un paquete en I trivial . Entonces, la vecindad regular es una subvariedad tridimensional con un límite que contiene dos copias de la superficie.
Dada una variedad de Haken orientable M , por definición contiene una superficie S orientable e incompresible . Tome la vecindad regular de S y elimine su interior de M , resultando en M ' . En efecto, hemos reducido M a lo largo de la superficie S . (Esto es análogo, en una dimensión menos, a cortar una superficie a lo largo de un círculo o arco.) Es un teorema que cualquier variedad compacta orientable con un componente de frontera que no sea una esfera tiene un primer grupo de homología infinito, lo que implica que tiene una superficie incompresible de dos lados que no se separa correctamente incrustada, y también lo es de nuevo un colector Haken. Por lo tanto, podemos elegir otra superficie incompresible en M ' y cortarla. Si finalmente esta secuencia de corte da como resultado una variedad cuyas piezas (o componentes) son solo 3 bolas, llamamos a esta secuencia una jerarquía.
Aplicaciones
La jerarquía hace que probar ciertos tipos de teoremas sobre las variedades de Haken sea una cuestión de inducción. Uno prueba el teorema de 3 bolas. Entonces se demuestra que si el teorema es cierto para las piezas que resultan de un corte de una variedad Haken, entonces es cierto para esa variedad Haken. La clave aquí es que el corte se realiza a lo largo de una superficie muy "bonita", es decir, incompresible. Esto hace que la prueba del paso de inducción sea factible en muchos casos.
Haken esbozó una prueba de un algoritmo para comprobar si dos variedades de Haken eran homeomórficas o no. Su esquema fue completado por los esfuerzos sustantivos de Friedhelm Waldhausen , Klaus Johannson, Geoffrey Hemion, Sergeĭ Matveev, et al. Dado que existe un algoritmo para comprobar si una variedad de 3 es Haken (cf. Jaco-Oertel), el problema básico de reconocimiento de las variedades de 3 puede considerarse resuelto para las variedades de Haken.
Waldhausen ( 1968 ) demostró que las variedades de Haken cerradas son topológicamente rígidas : aproximadamente, cualquier equivalencia homotópica de las variedades de Haken es homotópica a un homeomorfismo (para el caso de la frontera, se necesita una condición en la estructura periférica). Entonces, estas tres variedades están completamente determinadas por su grupo fundamental. Además, Waldhausen demostró que los grupos fundamentales de variedades de Haken tienen problemas de palabras que se pueden resolver; esto también es cierto para las variedades virtualmente Haken.
La jerarquía jugó un papel crucial en William Thurston 's teorema hiperbolización de colectores Haken, parte de su programa de geometrización revolucionario para las 3-variedades.
Johannson (1979) demostró que las tres variedades de Haken atoroidal , ananular e irreductible en los límites tienen grupos de clases cartográficos finitos . Este resultado puede recuperarse de la combinación de la rigidez de Mostow con el teorema de geometrización de Thurston.
Ejemplos de variedades Haken
Tenga en cuenta que algunas familias de ejemplos están incluidas en otras.
- 3 colectores compactos e irreductibles con primer número Betti positivo
- Paquetes de superficie sobre el círculo , este es un caso especial del ejemplo anterior.
- Complementos de enlace
- La mayoría de los espacios de fibra Seifert tienen muchos tori incompresibles
Ver también
Referencias
- ^ Agol, Ian (2013). "La conjetura virtual de Haken. Con un apéndice de Agol, Daniel Groves y Jason Manning" (PDF) . Documenta Mathematica . 18 : 1045–1087. Señor 3104553 .
- Haken, Wolfgang (1961). "Theorie der Normalflächen. Ein Isotopiekriterium für den Kreisknoten" . Acta Mathematica . 105 (3–4): 245–375. doi : 10.1007 / BF02559591 . ISSN 0001-5962 . Señor 0141106 .
- Haken, Wolfgang (1968). "Algunos resultados en superficies en 3 colectores" . En Hilton, Peter J. (ed.). Estudios de topología moderna . Asociación Matemática de América (distribuida por Prentice-Hall, Englewood Cliffs, Nueva Jersey). págs. 39–98. ISBN 978-0-88385-105-0. Señor 0224071 .
- Haken, Wolfgang (1962). "Über das Homöomorphieproblem der 3-Mannigfaltigkeiten. I". Mathematische Zeitschrift . 80 : 89-120. doi : 10.1007 / BF01162369 . ISSN 0025-5874 . Señor 0160196 .
- Hempel, John (1976). 3 colectores . Anales de estudios matemáticos. 86 . Prensa de la Universidad de Princeton . ISBN 978-0-8218-3695-8. Señor 0415619 .
- Jaco, William ; Oertel, Ulrich (1984). "Un algoritmo para decidir si una variedad 3 es una variedad Haken". Topología . 23 (2): 195–209. doi : 10.1016 / 0040-9383 (84) 90039-9 . ISSN 0040-9383 . Señor 0744850 .
- Johannson, Klaus (1979). "En el grupo de clases de mapeo de 3 variedades simples". En Fenn, Roger A. (ed.). Topología de variedades de baja dimensión (Proc. Second Sussex Conf., Chelwood Gate, 1977) . Apuntes de clase en matemáticas. 722 . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . págs. 48–66. doi : 10.1007 / BFb0063189 . ISBN 978-3-540-09506-4. Señor 0547454 .
- Waldhausen, Friedhelm (1968). "En 3-colectores irreductibles que son suficientemente grandes" . Annals of Mathematics . Segunda Serie. 87 (1): 56–88. doi : 10.2307 / 1970594 . ISSN 0003-486X . JSTOR 1970594 . Señor 0224099 .