En geometría aritmética , el grupo Selmer , nombrado en honor al trabajo de Ernst Sejersted Selmer ( 1951 ) por John William Scott Cassels ( 1962 ), es un grupo construido a partir de una isogenia de variedades abelianas .
El grupo Selmer de una isogenia
El grupo Selmer de una variedad abeliana A con respecto a una isogenia f : A → B de variedades abelianas se puede definir en términos de cohomología de Galois como
donde A v [ f ] denota la f - torsión de A v y es el mapa local de Kummer . Tenga en cuenta que es isomorfo a . Geométricamente, los principales espacios homogéneos procedentes de elementos del grupo Selmer tienen K v puntos -racional para todos los lugares v de K . El grupo Selmer es finito. Esto implica que la parte del grupo Tate-Shafarevich asesinada por f es finita debido a la siguiente secuencia exacta
- 0 → B ( K ) / f ( A ( K )) → Sel (f) ( A / K ) → Ш ( A / K ) [ f ] → 0.
El grupo de Selmer en el medio de esta secuencia exacta es finito y efectivamente computable. Esto implica el teorema débil de Mordell-Weil de que su subgrupo B ( K ) / f ( A ( K )) es finito. Existe un problema notorio acerca de si este subgrupo puede calcularse efectivamente: existe un procedimiento para calcularlo que terminará con la respuesta correcta si hay algún primo p tal que el componente p del grupo Tate-Shafarevich es finito. Se conjetura que el grupo Tate-Shafarevich es de hecho finito, en cuyo caso funcionaría cualquier p primo . Sin embargo, si (como parece improbable) el grupo Tate-Shafarevich tiene un componente p infinito para cada primo p , entonces el procedimiento puede no terminar nunca.
Ralph Greenberg ( 1994 ) ha generalizado la noción de grupo Selmer a representaciones de Galois p -ádicas más generales y variaciones de motivos p -ádicos en el contexto de la teoría de Iwasawa .
El grupo Selmer de un módulo de Galois finito
De manera más general, se puede definir el grupo Selmer de un módulo de Galois finito M (como el núcleo de una isogenia) como los elementos de H 1 ( G K , M ) que tienen imágenes dentro de ciertos subgrupos dados de H 1 ( G K v , M ).
Referencias
- Cassels, John William Scott (1962), "Aritmética sobre curvas del género 1. III. Los grupos Tate – Šafarevič y Selmer", Proceedings of the London Mathematical Society , Third Series, 12 : 259-296, doi : 10.1112 / plms / s3-12.1.259 , ISSN 0024-6115 , Sr. 0163913
- Cassels, John William Scott (1991), Conferencias sobre curvas elípticas , Textos estudiantiles de la London Mathematical Society, 24 , Cambridge University Press , doi : 10.1017 / CBO9781139172530 , ISBN 978-0-521-41517-0, MR 1144763
- Greenberg, Ralph (1994), "Teoría de Iwasawa y deformación p-ádica de los motivos", en Serre, Jean-Pierre ; Jannsen, Uwe; Kleiman, Steven L. (eds.), Motives , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1637-0, MR 1265554
- Selmer, Ernst S. (1951), "La ecuación diofántica ax 3 + por 3 + cz 3 = 0", Acta Mathematica , 85 : 203–362, doi : 10.1007 / BF02395746 , ISSN 0001-5962 , MR 0041871