En geometría aritmética , el grupo Tate-Shafarevich Ш ( A / K ) , introducido por Serge Lang y John Tate ( 1958 ) e Igor Shafarevich ( 1959 ), de una variedad abeliana A (o más generalmente un esquema de grupo ) definido sobre un número el campo K consta de los elementos del grupo de Weil-Châtelet WC ( A / K ) = H 1 ( G K , A )que se vuelven triviales en todas las terminaciones de K (es decir, los campos p -ádicos obtenidos de K , así como sus terminaciones reales y complejas). Por tanto, en términos de la cohomología de Galois , se puede escribir como
JWS Cassels introdujo la notación Ш ( A / K ) , donde Ш es la letra cirílica " Sha ", para Shafarevich, reemplazando la notación TS más antigua .
Elementos del grupo Tate-Shafarevich
Geométricamente, los elementos no triviales del grupo Tate-Shafarevich pueden considerarse como los espacios homogéneos de A que tienen K v - puntos racionales para cada lugar v de K , pero no K - punto racional. Por lo tanto, las medidas de grupo el grado en que el principio de Hasse no lleva a cabo para las ecuaciones racionales con coeficientes en el campo K . Carl-Erik Lind ( 1940 ) dio un ejemplo de un espacio tan homogéneo, mostrando que la curva del género 1 x 4 - 17 = 2 y 2 tiene soluciones sobre los reales y sobre todos los campos p -ádicos, pero no tiene puntos racionales. Ernst S. Selmer ( 1951 ) dio muchos más ejemplos, como 3 x 3 + 4 y 3 + 5 z 3 = 0 .
El caso especial del grupo Tate-Shafarevich para el esquema de grupo finito que consiste en puntos de algún orden finito dado n de una variedad abeliana está estrechamente relacionado con el grupo Selmer .
Conjetura de Tate-Shafarevich
La conjetura de Tate-Shafarevich establece que el grupo Tate-Shafarevich es finito. Karl Rubin ( 1987 ) demostró esto para algunas curvas elípticas de rango como máximo 1 con multiplicación compleja . Victor A. Kolyvagin ( 1988 ) extendió esto a curvas elípticas modulares sobre los racionales de rango analítico como máximo 1. (El teorema de modularidad mostró más tarde que el supuesto de modularidad siempre es válido).
Maridaje Cassels-Tate
El emparejamiento Cassels-Tate es un emparejamiento bilineal Ш ( A ) × Ш (  ) → Q / Z , donde A es una variedad abeliana y  es su dual. Cassels (1962) introdujo esto para las curvas elípticas , cuando A puede identificarse con  y el emparejamiento es una forma alterna. El núcleo de esta forma es el subgrupo de elementos divisibles, lo cual es trivial si la conjetura de Tate-Shafarevich es cierta. Tate (1963) extendió el emparejamiento a variedades abelianas generales, como una variación de la dualidad Tate . Una elección de polarización en A da un mapa de A a  , que induce un emparejamiento bilineal en Ш ( A ) con valores en Q / Z , pero a diferencia del caso de las curvas elípticas, no es necesario que sea alternante o incluso sesgada simétrica.
Para una curva elíptica, Cassels mostró que el emparejamiento es alterno, y una consecuencia es que si el orden de Ш es finito, entonces es un cuadrado. Para las variedades abelianas más generales, a veces se creyó incorrectamente durante muchos años que el orden de Ш es un cuadrado siempre que sea finito; este error se originó en un artículo de Swinnerton-Dyer (1967) , quien citó erróneamente uno de los resultados de Tate (1963) . Poonen y Stoll (1999) dieron algunos ejemplos donde el orden es dos veces un cuadrado, como la curva jacobiana de cierto género 2 sobre los racionales cuyo grupo Tate-Shafarevich tiene el orden 2, y Stein (2004) dio algunos ejemplos donde el poder de un primo impar que divide el orden es impar. Si la variedad abeliana tiene una polarización principal, entonces la forma en Ш es simétrica sesgada, lo que implica que el orden de Ш es un cuadrado o dos veces un cuadrado (si es finito), y si además la polarización principal proviene de un divisor racional ( como es el caso de las curvas elípticas) entonces la forma es alterna y el orden de Ш es un cuadrado (si es finito).
Ver también
Referencias
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