Elipse

En matemáticas , una elipse es una curva plana que rodea dos puntos focales , tal que para todos los puntos de la curva, la suma de las dos distancias a los puntos focales es una constante. Como tal, generaliza un círculo , que es el tipo especial de elipse en el que los dos puntos focales son iguales. La elongación de una elipse se mide por su excentricidad , un número que va desde (el caso límite de un círculo) hasta (el caso límite de la elongación infinita, ya no una elipse sino una parábola ). ${\ estilo de visualización e}$ ${\ estilo de visualización e = 0}$ ${\ estilo de visualización e = 1}$

Una elipse tiene una solución algebraica simple para su área, pero solo aproximaciones para su perímetro (también conocido como circunferencia ), por lo que se requiere integración para obtener una solución exacta.

Analíticamente , la ecuación de una elipse estándar centrada en el origen con ancho y alto es: ${\ estilo de visualización 2a}$ ${\ estilo de visualización 2b}$

Suponiendo que los focos son para . La ecuación paramétrica estándar es: ${\ estilo de visualización a \ geq b}$ ${\ estilo de visualización (\ pm c, 0)}$ ${\textstyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$

Las elipses son el tipo cerrado de sección cónica : una curva plana que traza la intersección de un cono con un plano (ver figura). Las elipses tienen muchas similitudes con las otras dos formas de secciones cónicas, parábolas e hipérbolas , las cuales son abiertas e ilimitadas . Una sección transversal en ángulo de un cilindro también es una elipse.

Una elipse también se puede definir en términos de un punto focal y una línea fuera de la elipse llamada directriz : para todos los puntos en la elipse, la relación entre la distancia al foco y la distancia a la directriz es una constante. Esta relación constante es la excentricidad antes mencionada:

Una elipse (roja) obtenida como la intersección de un cono con un plano inclinado.

Elipse: notaciones

Elipses: ejemplos con excentricidad creciente

Elipse: definición por suma de distancias a focos

Elipse: definición por foco y directriz circular

Parámetros de forma:

a : semieje mayor,
b : eje semi-menor,
c : excentricidad lineal,
p : semi-latus rectum (usualmente ). ${\ estilo de visualización \ ell}$

La construcción de puntos a partir de la ecuación paramétrica y la interpretación del parámetro t , que se debe a de la Hire

Puntos de elipse calculados por la representación racional con parámetros espaciados iguales ( ).

{\ estilo de visualización \ Delta u = 0,2}

Elipse como imagen afín del círculo unitario

Remolinos: elipses anidadas, escaladas y rotadas. La espiral no está dibujada: la vemos como el lugar geométrico de los puntos donde las elipses están especialmente próximas entre sí.

Coordenadas polares centradas en el centro.

Coordenadas polares centradas en el foco.

Elipse: propiedad de la directriz

Lápiz de cónicas con vértice común y recto semilato común

Construcción de una directriz

Elipse: la tangente biseca el ángulo suplementario del ángulo entre las líneas a los focos.

Los rayos de un foco se reflejan en la elipse para pasar a través del otro foco.

Diámetros ortogonales de un círculo con un cuadrado de tangentes, puntos medios de cuerdas paralelas y una imagen afín, que es una elipse con diámetros conjugados, un paralelogramo de tangentes y puntos medios de cuerdas.

Teorema de Apolonio

Para la fórmula alternativa del área

Elipse con su ortóptica

Proyección central de círculos (puerta)

Elipse: método del jardinero

Construcción de elipse: método de tira de papel 2

Aproximación de una elipse con círculos osculadores

Elipse: generación de Steiner

Una elipse (en rojo) como caso especial de la hipotrocoide con R = 2 r

Círculo: teorema del ángulo inscrito

Teorema del ángulo inscrito para una elipse

Elipse: relación polo-polar

El área encerrada por una elipse inclinada es .

\pi \;y_{\text{int}}\,x_{\text{max}}

Elipses con la misma circunferencia

Patrón de onda de una pequeña gota que cae en mercurio en un foco de la elipse