En matemáticas , un cobordismo ( W , M , M - ) de una variedad ( n + 1) -dimensional (con límite) W entre sus componentes de frontera, dos n- múltiples M y M - , se llama semi- s -cobordismo si (y solo si) la inclusiónes una equivalencia de homotopía simple (como en un cobordismo- s ) pero la inclusión no es un homotop
Otras notaciones
El creador original de este tema, Jean-Claude Hausmann, usó la notación M - para el límite derecho del cobordismo.
Propiedades
Una consecuencia de que ( W , M , M - ) sea un semi- s -cobordismo es que el núcleo del homomorfismo derivado en grupos fundamentales es perfecto . Un corolario de esto es queresuelve el problema de la extensión del grupo . Las soluciones al problema de la extensión de grupo para el grupo de cociente proscrito y el grupo de kernel K se clasifican hasta la congruencia (ver Homología de MacLane, por ejemplo), por lo que existen restricciones sobre qué n-variedades pueden ser el límite derecho de un semi- s -cobordismo con límite izquierdo proscrito M y superperfecto grupo de kernel K.
Relación con los cobordismos Plus
Tenga en cuenta que si ( W , M , M - ) es un semi- s -cobordismo, entonces ( W , M - , M ) es un cobordismo Plus . (Esto justifica el uso de M - para el límite derecho de un semi- s -cobordismo, un juego con el uso tradicional de M + para el límite derecho de un cobordismo Plus.) Así, un semi- s - El cobordismo se puede considerar como un inverso a la construcción Plus de Quillen en la categoría múltiple. Tenga en cuenta que ( M - ) + debe ser difeomórfico (respectivamente, homeomórfico por partes-linealmente (PL) ) a M, pero puede haber una variedad de opciones para ( M + ) - para una variedad M cerrada suave (respectivamente, PL ) dada .
Referencias
- MacLane (1963), Homología , págs. 124-129, ISBN 0-387-58662-8
- Hausmann, Jean-Claude (1976), "Cirugía homológica", Annals of Mathematics , Second Series, 104 (3): 573–584, doi : 10.2307 / 1970967 , JSTOR 1970967.
- Hausmann, Jean-Claude; Vogel, Pierre (1978), "The Plus Construction and Lifting Maps from Manifolds" , Actas de simposios en matemáticas puras , 32 : 67-76.
- Hausmann, Jean-Claude (1978), "Variedades con una homología dada y un grupo fundamental" , Commentarii Mathematici Helvetici , 53 (1): 113-134, doi : 10.1007 / BF02566068.