Variedad lineal por partes
En matemáticas , una variedad lineal por partes (PL) es una variedad topológica junto con una estructura lineal por partes en ella. Tal estructura se puede definir por medio de un atlas , de modo que uno puede pasar de un gráfico a otro mediante funciones lineales por partes . Esto es un poco más fuerte que la noción topológica de una triangulación . [a]
PL, o más precisamente PDIFF, se encuentra entre DIFF (la categoría de variedades suaves ) y TOP (la categoría de variedades topológicas): categóricamente se "comporta mejor" que DIFF; por ejemplo, la conjetura generalizada de Poincaré es verdadera en PL (con la posible excepción de la dimensión 4, donde es equivalente a DIFF), pero generalmente es falso en DIFF, pero se "comporta peor" que TOP, como se elabora en la teoría de la cirugía .
Las variedades suaves tienen estructuras PL canónicas: son singularmente triangularizables, según el teorema de triangulación de Whitehead ( Whitehead 1940 ) [1] [2] , pero las variedades PL no siempre tienen estructuras suaves , no siempre son suavizables. Esta relación se puede elaborar introduciendo la categoría PDIFF , que contiene tanto DIFF como PL, y es equivalente a PL.
Una forma en la que PL se comporta mejor que DIFF es que uno puede tomar conos en PL, pero no en DIFF; el punto de cono es aceptable en PL. Una consecuencia es que la conjetura de Poincaré generalizada es verdadera en PL para dimensiones mayores que cuatro: la prueba es tomar una esfera de homotopía , quitar dos bolas, aplicar el teorema del cobordismo h para concluir que se trata de un cilindro y luego unir conos a recuperar una esfera. Este último paso funciona en PL pero no en DIFF, dando lugar a esferas exóticas .
No todas las variedades topológicas admiten una estructura PL y, de las que sí lo hacen, la estructura PL no necesita ser única, puede tener infinitas. Esto se elabora en Hauptvermutung .
La obstrucción para colocar una estructura PL en una variedad topológica es la clase Kirby-Siebenmann . Para ser precisos, la clase Kirby-Siebenmann es el obstáculo para colocar una estructura PL en M x R y en dimensiones n > 4, la clase KS desaparece si y solo si M tiene al menos una estructura PL.
