En matemáticas , una variedad lineal por partes (PL) es una variedad topológica junto con una estructura lineal por partes . Una estructura de este tipo puede definirse mediante un atlas , de modo que se pueda pasar de un gráfico a otro mediante funciones lineales por partes . Esto es un poco más fuerte que la noción topológica de triangulación . [a]
Un isomorfismo de variedades PL se denomina homeomorfismo PL.
Relación con otras categorías de variedades [ editar ]
PL, o más precisamente PDIFF, se encuentra entre DIFF (la categoría de variedades suaves ) y TOP (la categoría de variedades topológicas): se comporta categóricamente "mejor" que DIFF; por ejemplo, la conjetura de Poincaré generalizada es verdadera en PL (con la posible excepción de la dimensión 4, donde es equivalente a DIFF), pero generalmente es falsa en DIFF - pero se "comporta peor" que TOP, como se elabora en la teoría de la cirugía .
Colectores lisos [ editar ]
Las variedades suaves tienen estructuras PL canónicas - son singularmente triangulizables, según el teorema de la triangulación de Whitehead ( Whitehead 1940 ) [1] [2] - pero las variedades PL no siempre tienen estructuras suaves - no siempre son suavizables. Esta relación puede elaborarse introduciendo la categoría PDIFF , que contiene tanto DIFF como PL, y es equivalente a PL.
Una forma en la que PL se comporta mejor que DIFF es que se pueden tomar conos en PL, pero no en DIFF; el punto del cono es aceptable en PL. Una consecuencia es que la conjetura de Poincaré generalizada es verdadera en PL para dimensiones mayores que cuatro; la prueba es tomar una esfera de homotopía , quitar dos bolas, aplicar el teorema de h -cobordismo para concluir que se trata de un cilindro y luego unir conos a recuperar una esfera. Este último paso funciona en PL pero no en DIFF, dando lugar a esferas exóticas .
Variedades topológicas [ editar ]
No todas las variedades topológicas admiten una estructura PL, y de las que la admiten, la estructura PL no tiene por qué ser única, puede tener infinitas. Esto se elabora en Hauptvermutung .
La obstrucción para colocar una estructura PL en una variedad topológica es la clase Kirby-Siebenmann . Para ser precisos, la clase Kirby-Siebenmann es el obstáculo para colocar una estructura PL en M x R y en las dimensiones n> 4, la clase KS desaparece si y solo si M tiene al menos una estructura PL.
Conjuntos algebraicos reales [ editar ]
Una estructura A en un colector PL es una estructura que proporciona una forma inductiva de resolver el colector PL en un colector suave. Los colectores PL compactos admiten estructuras A. [3] [4] Las variedades PL compactas son homeomórficas a conjuntos algebraicos reales . [5] [6] Dicho de otra manera, la categoría A se ubica sobre la categoría PL como una categoría más rica sin obstrucciones para el levantamiento, es decir, BA → BPL es una fibra de producto con BA = BPL × PL / A y colectores PL son conjuntos algebraicos reales porque las variedades A son conjuntos algebraicos reales.
Colectores combinatorios y colectores digitales [ editar ]
- Una variedad combinatoria es una especie de variedad que es la discretización de una variedad. Por lo general, significa una variedad lineal por partes formada por complejos simpliciales .
- Un colector digital es un tipo especial de colector combinatorio que se define en el espacio digital. Ver topología digital .
Ver también [ editar ]
- Colector simple
Notas [ editar ]
- ^ Una estructura PL también requiere que el enlace de un simplex sea una esfera PL. Un ejemplo de una triangulación topológica de una variedad que no es una estructura PL es, en la dimensión n ≥ 5, la suspensión ( n - 3) pliegues de la esfera de Poincaré (con alguna triangulación fija): tiene un simplex cuyo enlace es la esfera de Poincaré, una variedad tridimensional que no es homeomorfa a una esfera, por lo tanto no es una esfera PL. Consulte Triangulación (topología) § Estructuras lineales por partes para obtener más detalles.
Referencias [ editar ]
- ^ Lurie, Jacob (13 de febrero de 2009), Whitehead Triangulations (Lecture 3) (PDF) CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
- ^ MA Shtan'ko (2001) [1994], "Topología de variedades" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press
- ↑ Akbulut, S .; Taylor, L. (1980). "Un teorema de resolución topológica" . Boletín de la American Mathematical Society . (NS). 2 (1): 174-176. doi : 10.1090 / S0273-0979-1980-14709-6 .
- ↑ Akbulut, S .; Taylor, L. (1981). "Un teorema de resolución topológica" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 53 (1): 163–196. doi : 10.1007 / BF02698689 .
- ↑ Akbulut, S .; King, HC (1980). "Una caracterización topológica de variedades algebraicas reales" . Boletín de la American Mathematical Society . (NS). 2 (1): 171-173. doi : 10.1090 / S0273-0979-1980-14708-4 .
- ↑ Akbulut, S .; King, HC (1981). "Estructuras algebraicas reales en espacios topológicos" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 53 (1): 79-162. doi : 10.1007 / BF02698688 .
- Whitehead, JHC (octubre de 1940). "Sobre C 1 -Complejos". Los anales de las matemáticas . Segunda Serie. 41 (4): 809–824. doi : 10.2307 / 1968861 . JSTOR 1968861 . CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
- Rudyak, Yuli B. (2001). "Estructuras lineales a trozos en variedades topológicas". arXiv : matemáticas.AT / 0105047 .
