h-cobordismo

En topología geométrica y topología diferencial , un cobordismo ( n  + 1) -dimensional W entre variedades n- dimensionales M y N es un cobordismo h (la h significa equivalencia de homotopía ) si los mapas de inclusión

${\displaystyle M\hookrightarrow W\quad {\mbox{and}}\quad N\hookrightarrow W}$

son equivalencias de homotopía.

El teorema de h -cobordismo da condiciones suficientes para que un h -cobordismo sea trivial, es decir, C -isomórfico con el cilindro M × [0, 1]. Aquí C refiere a cualquiera de las categorías de lisas , lineal a trozos , o topológicas colectores.

El teorema fue probado por primera vez por Stephen Smale, por lo que recibió la Medalla Fields y es un resultado fundamental en la teoría de variedades de alta dimensión. Para empezar, prueba casi de inmediato la conjetura generalizada de Poincaré .

Antecedentes

Antes de que Smale probara este teorema, los matemáticos se atascaron al tratar de comprender las variedades de dimensión 3 o 4, y asumieron que los casos de dimensiones superiores eran aún más difíciles. El teorema de h -cobordismo mostró que las variedades (simplemente conectadas) de dimensión al menos 5 son mucho más fáciles que las de dimensión 3 o 4. La demostración del teorema depende del " truco de Whitney " de Hassler Whitney , que desenreda geométricamente enredos homológicamente esferas de dimensión complementaria en una variedad de dimensión> 4. Una razón informal por la que los colectores de dimensión 3 o 4 son inusualmente difíciles es que el truco no funciona en dimensiones inferiores, que no tienen lugar para desenredarse.

Declaración precisa del teorema de h -cobordismo

Sea n al menos 5 y sea W un h -cobordismo compacto ( n  + 1) -dimensional entre M y N en la categoría C = Diff , PL o Top tal que W , M y N están simplemente conectados , entonces W es C -isomórfico a M × [0, 1]. El isomorfismo se puede elegir para que sea la identidad en M × {0}.

Esto significa que la equivalencia de homotopía entre M, W y N es homotópica a un isomorfismo C.

Versiones de dimensiones inferiores

Para n = 4, el teorema de h -cobordismo es verdadero topológicamente (probado por Michael Freedman usando un truco de Whitney de 4 dimensiones) pero es falso PL y sin problemas (como lo muestra Simon Donaldson ).

Para n = 3, el teorema de h -cobordismo para variedades suaves no ha sido probado y, debido a la conjetura tridimensional de Poincaré , es equivalente a la difícil pregunta abierta de si la 4-esfera tiene estructuras suaves no estándar .

Para n = 2, el teorema de h -cobordismo es equivalente a la conjetura de Poincaré enunciada por Poincaré en 1904 (uno de los Problemas del Milenio ^[1] ) y fue probado por Grigori Perelman en una serie de tres artículos en 2002 y 2003, ^{[2 ] [3] [4]} donde sigue el programa de Richard S. Hamilton utilizando el flujo de Ricci .

Para n = 1, el teorema de h -cobordismo es vacuosamente cierto, ya que no hay una variedad unidimensional cerrada simplemente conectada.

Para n = 0, el teorema de h -cobordismo es trivialmente cierto: el intervalo es el único cobordismo conectado entre variedades 0 conectadas.

Un boceto de prueba

Una función de Morse induce una descomposición del mango de W , es decir, si hay un solo punto crítico de índice k in , entonces el cobordismo ascendente se obtiene conectando un mango k . El objetivo de la demostración es encontrar una descomposición de asa sin asas en absoluto, de modo que la integración del campo vectorial de gradiente distinto de cero de f dé el difeomorfismo deseado al cobordismo trivial.${\displaystyle f:W\to [a,b]}$${\displaystyle f^{-1}([c,c'])}$${\displaystyle W_{c'}}$${\displaystyle W_{c}}$

Esto se logra mediante una serie de técnicas.

1) Reorganización de la manija

Primero, queremos reorganizar todas las manijas por orden para que las manijas de orden inferior se coloquen primero. La pregunta es, por tanto, ¿cuándo podemos deslizar un tirador i fuera de un tirador j ? Esto se puede hacer mediante una isotopía radial siempre que la esfera i adjunta y la esfera del cinturón j no se crucen. Por tanto, queremos cuál es equivalente a .${\displaystyle (i-1)+(n-j)\leq \dim \partial W-1=n-1}$${\displaystyle i\leq j}$

Luego definimos el complejo de cadena de manijas dejando ser el grupo abeliano libre en las manijas k y definiendo enviando una manija k a , donde es el número de intersección de la esfera de unión k y la esfera de cinturón ( k  - 1) .${\displaystyle (C_{*},\partial _{*})}$${\displaystyle C_{k}}$${\displaystyle \partial _{k}:C_{k}\to C_{k-1}}$${\displaystyle h_{\alpha }^{k}}$${\displaystyle \sum _{\beta }\langle h_{\alpha }^{k}\mid h_{\beta }^{k-1}\rangle h_{\beta }^{k-1}}$${\displaystyle \langle h_{\alpha }^{k}\mid h_{\beta }^{k-1}\rangle }$

2) Manejar la cancelación

A continuación, queremos "cancelar" los identificadores. La idea es que colocar una manija k podría crear un agujero que se puede rellenar colocando una manija ( k  + 1) . Esto implicaría que la entrada en la matriz de sería . Sin embargo, ¿cuándo es suficiente esta condición? Es decir, ¿cuándo podemos cancelar geométricamente los identificadores si esta condición es verdadera? La respuesta radica en analizar cuidadosamente cuándo el colector permanece simplemente conectado después de quitar las esferas de sujeción y cinturón en cuestión, y encontrar un disco incrustado utilizando el truco de Whitney . Este análisis conduce al requisito de que n${\displaystyle h_{\alpha }^{k}}$${\displaystyle h_{\beta }^{k+1}}$${\displaystyle \partial _{k+1}h_{\beta }^{k+1}=\pm h_{\alpha }^{k}}$${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$${\displaystyle \partial _{k+1}}$${\displaystyle \pm 1}$debe ser al menos 5. Además, durante la prueba se requiere que el cobordismo no tenga manijas 0-, 1-, n- o ( n  + 1) que se obtiene mediante la siguiente técnica.

3) Manejar el comercio

La idea del intercambio de manejadores es crear un par de cancelación de ( k  + 1) - y ( k  + 2) - manejadores de modo que un control k dado se cancele con el manejador ( k  + 1) dejando atrás el ( k  + 2) )-resolver. Para hacer esto, considere el núcleo del k -handle que es un elemento en . Este grupo es trivial ya que W es un h -cobordismo. Por lo tanto, hay un disco el cual podemos engordar a un par de cancelar como se desee, siempre que podemos insertar este disco en el límite de W . Esta incrustación existe si . Dado que asumimos que n es al menos 5, esto significa que k${\displaystyle \pi _{k}(W,M)}$${\displaystyle D^{k+1}}$${\displaystyle \dim \partial W-1=n-1\geq 2(k+1)}$es 0 o 1. Finalmente, considerando el negativo de la función Morse dada, - f , podemos dar la vuelta a la descomposición de la manija y también eliminar las n - y ( n  + 1) - manijas como se desee.

4) Mango deslizante

Finalmente, queremos asegurarnos de que las operaciones de filas y columnas corresponden a una operación geométrica. De hecho, no es difícil demostrar (mejor hecho por un dibujo) que el deslizamiento de un k -Mango sobre otro k -Mango sustituye por la base para .${\displaystyle \partial _{k}}$${\displaystyle h_{\alpha }^{k}}$${\displaystyle h_{\beta }^{k}}$${\displaystyle h_{\alpha }^{k}}$${\displaystyle h_{\alpha }^{k}\pm h_{\beta }^{k}}$${\displaystyle C_{k}}$

La demostración del teorema ahora sigue: el complejo de cadena de asa es exacto desde . Por lo tanto, ya que son gratuitos. Entonces , que es una matriz entera, se restringe a un morfismo invertible que, por lo tanto, puede diagonalizarse mediante operaciones de fila elementales (deslizamiento del mango) y debe tener solo en la diagonal porque es invertible. Por lo tanto, todas las manijas se emparejan con una única manija de cancelación que produce una descomposición sin manijas.${\displaystyle H_{*}(W,M;\mathbb {Z} )=0}$${\displaystyle C_{k}\cong \operatorname {coker} \partial _{k+1}\oplus \operatorname {im} \partial _{k+1}}$${\displaystyle C_{k}}$${\displaystyle \partial _{k}}$${\displaystyle \pm 1}$

El teorema de s -cobordismo

Si se descarta la suposición de que M y N simplemente están conectados, los h -cobordismos no necesitan ser cilindros; la obstrucción es exactamente la torsión de Whitehead τ ( W , M ) de la inclusión .${\displaystyle M\hookrightarrow W}$

Precisamente, el teorema de s -cobordismo (la s significa equivalencia de homotopía simple ), probado independientemente por Barry Mazur , John Stallings y Dennis Barden , establece (suposiciones como las anteriores, pero donde M y N no necesitan estar simplemente conectados):

Un h -cobordismo es un cilindro si y solo si la torsión de Whitehead τ ( W , M ) desaparece.

La torsión desaparece si y solo si la inclusión no es solo una equivalencia de homotopía, sino una simple equivalencia de homotopía .${\displaystyle M\hookrightarrow W}$

Tenga en cuenta que no es necesario suponer que la otra inclusión es también una equivalencia de homotopía simple, que se sigue del teorema.${\displaystyle N\hookrightarrow W}$

Categóricamente, los h -cobordismos forman un grupoide .

Entonces, una afirmación más fina del teorema de s -cobordismo es que las clases de isomorfismo de este grupoide (hasta C -isomorfismo de h -cobordismos) son torsores para los respectivos ^[5] grupos de Whitehead Wh (π), donde${\displaystyle \pi \cong \pi _{1}(M)\cong \pi _{1}(W)\cong \pi _{1}(N).}$

Ver también

• Semi- s -cobordismo

Notas

1. "Problemas del milenio | Instituto de matemáticas Clay" . www.claymath.org . Consultado el 30 de marzo de 2016 .
2. Perelman, Grisha (11 de noviembre de 2002). "La fórmula de la entropía para el flujo de Ricci y sus aplicaciones geométricas". arXiv : matemáticas / 0211159 .
3. Perelman, Grisha (10 de marzo de 2003). "Ricci flow con cirugía en tres colectores". arXiv : matemáticas / 0303109 .
4. Perelman, Grisha (17 de julio de 2003). "Tiempo de extinción finito para las soluciones al flujo de Ricci en ciertos tres múltiples". arXiv : matemáticas / 0307245 .
5. Tenga en cuenta que para identificar los grupos de Whitehead de las diversas variedades se requiere elegir puntos basey una ruta en W que los conecte.${\displaystyle m\in M,n\in N}$

Referencias

• Freedman, Michael H ; Quinn, Frank (1990). Topología de 4 colectores . Serie matemática de Princeton. 39 . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN 0-691-08577-3. (Este es el teorema para 4 variedades topológicas).
• Milnor, John , Conferencias sobre el teorema de h-cobordismo , notas de L. Siebenmann y J. Sondow, Princeton University Press , Princeton, Nueva Jersey, 1965. v + 116 pp. Esto da la prueba de variedades suaves.
• Rourke, Colin Patrick; Sanderson, Brian Joseph, Introducción a la topología lineal por partes , Springer Study Edition, Springer-Verlag , Berlín-Nueva York, 1982. ISBN 3-540-11102-6 . Esto prueba el teorema de las variedades PL. 
• S. Smale, "Sobre la estructura de las variedades" Amer. J. Math., 84 (1962) págs. 387–399
• Rudyak, Yu.B. (2001) [1994], "h-cobordism" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press