Las ecuaciones de Bloch de semiconductores [1] (abreviadas como SBE) describen la respuesta óptica de semiconductores excitados por fuentes de luz clásicas coherentes , como los láseres . Se basan en una teoría cuántica completa y forman un conjunto cerrado de ecuaciones integro-diferenciales para la dinámica cuántica de la polarización microscópica y la distribución de portadores de carga . [2] [3] Los SBE reciben su nombre de la analogía estructural con las ecuaciones ópticas de Bloch que describen la dinámica de excitación en un átomo de dos niveles.interactuando con un campo electromagnético clásico . Como la principal complicación más allá del enfoque atómico, los SBE deben abordar las interacciones de muchos cuerpos que resultan de la fuerza de Coulomb entre cargas y el acoplamiento entre las vibraciones reticulares y los electrones. Los SBE son uno de los enfoques más sofisticados y exitosos para describir las propiedades ópticas de los semiconductores que se originan a partir de la interacción clásica luz-materia, una vez que se incluye sistemáticamente la teoría de muchos cuerpos .
Fondo
La respuesta óptica de un semiconductor sigue si se puede determinar su polarización macroscópica. en función del campo eléctrico eso lo excita. La conexión entre y la polarización microscópica es dado por
donde la suma involucra momentos de cristal de todos los estados electrónicos relevantes. En la óptica de semiconductores, normalmente se excitan las transiciones entre una banda de valencia y una de conducción . En esta conexión,es el elemento de matriz dipolar entre la conducción y la banda de valencia y define la amplitud de transición correspondiente.
La derivación de los SBE comienza a partir de un sistema hamiltoniano que incluye completamente las partículas libres , la interacción de Coulomb , la interacción de dipolos entre la luz clásica y los estados electrónicos, así como las contribuciones de fonones . [3] Como casi siempre en la física de muchos cuerpos , es más conveniente aplicar el formalismo de segunda cuantificación después del sistema Hamiltoniano apropiado.es identificado. Entonces se puede derivar la dinámica cuántica de observables relevantes utilizando la ecuación de movimiento de Heisenberg
Debido a las interacciones de muchos cuerpos dentro , la dinámica de lo observable se acopla a nuevos observables y la estructura de la ecuación no se puede cerrar. Este es el conocido problema de jerarquía BBGKY que se puede truncar sistemáticamente con diferentes métodos, como el enfoque de expansión de clústeres . [4]
A nivel del operador, la polarización microscópica se define por un valor esperado para una única transición electrónica entre una valencia y una banda de conducción. En la segunda cuantificación, los electrones de la banda de conducción se definen mediante operadores fermiónicos de creación y aniquilación. y , respectivamente. Una identificación análoga, es decir, y , está hecho para los electrones de la banda de valencia. La correspondiente transición electrónica entre bandas se convierte en
que describen amplitudes de transición para mover un electrón de conducción a banda de valencia ( término) o viceversa (término). Al mismo tiempo, se sigue una distribución de electrones de
También es conveniente seguir la distribución de las vacantes electrónicas, es decir, los huecos ,
que quedan en la banda de valencia debido a los procesos de excitación óptica.
Estructura principal de SBEs
La dinámica cuántica de las excitaciones ópticas produce ecuaciones integro-diferenciales que constituyen los SBE [1] [3]
Estos contienen la energía Rabi renormalizada.
así como la energía portadora renormalizada
dónde corresponde a la energía de los pares de huecos de electrones libres y es el elemento de la matriz de Coulomb, dado aquí en términos del vector de onda portadora .
El simbólicamente denotado Las contribuciones provienen del acoplamiento jerárquico debido a las interacciones de muchos cuerpos. Conceptualmente, , y son valores esperados de una sola partícula, mientras que el acoplamiento jerárquico se origina a partir de correlaciones de dos partículas, como las correlaciones de polarización-densidad o las correlaciones de polarización-fonón. Físicamente, estas correlaciones de dos partículas introducen varios efectos no triviales como el cribado de la interacción de Coulomb, la dispersión de tipo Boltzmann de y hacia la distribución de Fermi-Dirac , el desfase inducido por excitación y una mayor renormalización de las energías debido a las correlaciones.
Todos estos efectos de correlación pueden incluirse sistemáticamente resolviendo también la dinámica de las correlaciones de dos partículas. [5] En este nivel de sofisticación, se pueden utilizar los SBE para predecir la respuesta óptica de los semiconductores sin parámetros fenomenológicos , lo que le da a los SBE un grado muy alto de previsibilidad. De hecho, se pueden usar los SBE para predecir diseños de láser adecuados a través del conocimiento preciso que producen sobre el espectro de ganancia del semiconductor . Incluso se pueden usar los SBE para deducir la existencia de correlaciones, como excitones ligados, a partir de mediciones cuantitativas. [6]
Los SBE presentados se formulan en el espacio del momento dado que el momento cristalino del portador se deriva de . También se puede formular un conjunto equivalente de ecuaciones en el espacio de posición. [7] Sin embargo, especialmente, los cálculos de correlación son mucho más simples de realizar en el espacio del momento.
Interpretación y consecuencias
La dinámica muestra una estructura donde un individuo está acoplado a todas las demás polarizaciones microscópicas debido a la interacción de Coulomb. Por tanto, la amplitud de transiciónse modifica colectivamente por la presencia de otras amplitudes de transición. Solo si uno se pone a cero, uno encuentra transiciones aisladas dentro de cada afirman que siguen exactamente la misma dinámica que predicen las ecuaciones ópticas de Bloch . Por lo tanto, ya la interacción de Coulomb entreproduce un nuevo efecto de estado sólido en comparación con las transiciones ópticas en átomos simples.
Conceptualmente es solo una amplitud de transición para excitar un electrón desde la valencia hasta la banda de conducción. Al mismo tiempo, la parte homogénea deLa dinámica produce un problema de valores propios que se puede expresar mediante la ecuación de Wannier generalizada . Los estados propios de la ecuación de Wannier son análogos a las soluciones ligadas del problema del hidrógeno de la mecánica cuántica. Estos a menudo se denominan soluciones de excitones y describen formalmente la unión de Coulombic por electrones y huecos con carga opuesta.
Sin embargo, un excitón real es una verdadera correlación de dos partículas porque entonces se debe tener una correlación entre un electrón y otro agujero. Por tanto, la aparición de resonancias de excitones en la polarización no significa la presencia de excitones porquees una amplitud de transición de una sola partícula. Las resonancias excitónicas son una consecuencia directa del acoplamiento de Coulomb entre todas las transiciones posibles en el sistema. En otras palabras, las transiciones de una sola partícula están influenciadas por la interacción de Coulomb, lo que hace posible detectar la resonancia de excitones en la respuesta óptica incluso cuando no hay excitones verdaderos. [8]
Por lo tanto, a menudo es habitual para especificar resonancias ópticas como excitón ic en lugar de las resonancias de excitones. El papel real de los excitones en la respuesta óptica solo puede deducirse mediante cambios cuantitativos para inducir al ancho de línea y al cambio de energía de las resonancias excitónicas. [6]
Las soluciones de la ecuación de Wannier pueden producir información valiosa sobre las propiedades básicas de la respuesta óptica de un semiconductor. En particular, se pueden resolver las soluciones de estado estable de los SBE para predecir el espectro de absorción óptica analíticamente con la denominada fórmula de Elliott . De esta forma, se puede verificar que un semiconductor no excitado muestra varias resonancias de absorción excitónica muy por debajo de la energía de banda prohibida fundamental. Obviamente, esta situación no puede ser un sondeo de excitones porque, para empezar, el sistema inicial de muchos cuerpos no contiene electrones ni huecos. Además, el sondeo puede, en principio, realizarse con tanta suavidad que uno esencialmente no excita los pares de electrones y huecos. Este experimento gedanken ilustra muy bien por qué uno puede detectar resonancias excitónicas sin tener excitones en el sistema, todo debido a la virtud del acoplamiento de Coulomb entre amplitudes de transición.
Extensiones
Los SBE son particularmente útiles para resolver la propagación de la luz a través de una estructura semiconductora. En este caso, es necesario resolver los SBE junto con las ecuaciones de Maxwell impulsadas por la polarización óptica. Este conjunto autoconsistente se denomina Maxwell-SBE y se aplica con frecuencia para analizar experimentos actuales y simular diseños de dispositivos.
En este nivel, los SBE proporcionan un método extremadamente versátil que describe fenómenos lineales y no lineales como efectos excitónicos , efectos de propagación, efectos de microcavidades de semiconductores , mezcla de cuatro ondas , polaritones en microcavidades de semiconductores, espectroscopía de ganancia , etc. [4] [8] [9] También se pueden generalizar los SBE al incluir la excitación con campos de terahercios (THz) [5] que son típicamente resonantes con transiciones intrabanda. También se puede cuantificar el campo de luz e investigar los efectos ópticos cuánticos resultantes. En esta situación, los SBE se acoplan a las ecuaciones de luminiscencia de semiconductores .
Ver también
- Absorción
- Ecuaciones de semiconductor-luminiscencia
- Fórmula de Elliott
- Espectroscopía óptica cuántica
- Ecuaciones ópticas de Bloch
- Ecuación de Wannier
- Obtener espectroscopía de semiconductores.
- Teoría del láser semiconductor
- Teoría no lineal de los láseres semiconductores
Otras lecturas
- Ashcroft, Neil W .; Mermin, N. David (1976). Física del estado sólido . Holt, Rinehart y Winston . ISBN 978-0-03-083993-1.
- Shah, J. (1999). Espectroscopia ultrarrápida de semiconductores y nanoestructuras semiconductoras (2ª ed.). Saltador. ISBN 978-3-540-64226-8.
- Kittel, C. (2004). Introducción a la física del estado sólido (8ª ed.). World Scientific. ISBN 978-0471415268.
- Haug, H .; Koch, SW (2009). Teoría cuántica de las propiedades ópticas y electrónicas de los semiconductores (5ª ed.). World Scientific. ISBN 978-9812838841.
- Klingshirn, CF (2006). Óptica semiconductora . Saltador. ISBN 978-3540383451.
- Kira, M .; Koch, SW (2011). Óptica cuántica de semiconductores . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0521875097.
Referencias
- ↑ a b Lindberg, M .; Koch, SW (1988). "Ecuaciones efectivas de Bloch para semiconductores". Revisión física B 38 (5): 3342–3350. doi: 10.1103% 2FPhysRevB.38.3342
- ^ Schäfer, W .; Wegener, M. (2002). Óptica de semiconductores y fenómenos de transporte . Saltador. ISBN 3540616144 .
- ^ a b c Haug, H .; Koch, SW (2009). Teoría cuántica de las propiedades ópticas y electrónicas de los semiconductores (5ª ed.). World Scientific. pag. 216. ISBN 9812838848 .
- ^ a b Kira, M .; Koch, SW (2011). Óptica cuántica de semiconductores . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0521875097 .
- ^ a b Kira, M .; Koch, SW (2006). "Correlaciones de muchos cuerpos y efectos excitónicos en espectroscopia de semiconductores". Progreso en electrónica cuántica 30 (5): 155-296. doi: 10.1016 / j.pquantelec.2006.12.002
- ^ a b Smith, RP; Wahlstrand, JK; Funk, AC; Mirin, RP; Cundiff, ST; Steiner, JT; Schafer, M .; Kira, M. y col. (2010). "Extracción de configuraciones de muchos cuerpos de absorción no lineal en pozos cuánticos de semiconductores". Cartas de revisión física 104 (24). doi: 10.1103 / PhysRevLett.104.247401
- ^ Stahl, A. (1984). "Electrodinámica del borde de la banda en un semiconductor de espacio directo". Comunicaciones de estado sólido 49 (1): 91–93. doi: 10.1016 / 0038-1098 (84) 90569-6
- ^ a b Koch, SW; Kira, M .; Khitrova, G .; Gibbs, HM (2006). "Excitones semiconductores en nueva luz". Nature Materials 5 (7): 523–531. doi: 10.1038 / nmat1658
- ^ Klingshirn, CF (2006). Óptica semiconductora . Saltador. ISBN 978-3540383451 .