En física estadística , la jerarquía BBGKY ( jerarquía Bogoliubov-Born-Green-Kirkwood-Yvon , a veces llamada jerarquía Bogoliubov ) es un conjunto de ecuaciones que describen la dinámica de un sistema de un gran número de partículas que interactúan. La ecuación para una función de distribución de partículas s ( función de densidad de probabilidad) en la jerarquía BBGKY incluye la función de distribución de partículas ( s + 1), formando así una cadena acoplada de ecuaciones. Este resultado teórico formal lleva el nombre de Nikolay Bogolyubov , Max Born , Herbert S. Green , John Gamble Kirkwood yJacques Yvon .
Formulación
La evolución de un sistema de N- partículas en ausencia de fluctuaciones cuánticas viene dada por la ecuación de Liouville para la función de densidad de probabilidaden el espacio de fase de 6 N- dimensiones (3 coordenadas espaciales y 3 de momento por partícula)
dónde son las coordenadas y el impulso para -ésima partícula con masa , y la fuerza neta que actúa sobre el -ésima partícula es
dónde es el par potencial de interacción entre partículas, y es el potencial del campo externo. Mediante la integración sobre parte de las variables, la ecuación de Liouville se puede transformar en una cadena de ecuaciones donde la primera ecuación conecta la evolución de la función de densidad de probabilidad de una partícula con la función de densidad de probabilidad de dos partículas, la segunda ecuación conecta la probabilidad de dos partículas función de densidad con la función de densidad de probabilidad de tres partículas, y generalmente la s -ésima ecuación conecta la función de densidad de probabilidad de s -partículas
con la función de densidad de probabilidad de partículas ( s + 1):
La ecuación anterior para la función de distribución de partículas s se obtiene mediante la integración de la ecuación de Liouville sobre las variables. El problema con la ecuación anterior es que no está cerrada. Resolveruno tiene que saber , que a su vez exige resolver y todo el camino de regreso a la ecuación completa de Liouville. Sin embargo, uno puede resolver, Si podría modelarse. Uno de esos casos es la ecuación de Boltzmann para, dónde está modelado en base a la hipótesis del caos molecular ( Stosszahlansatz ). De hecho, en la ecuación de Boltzmannes la integral de colisión. Este proceso limitante de obtener la ecuación de Boltzmann a partir de la ecuación de Liouville se conoce como límite de Boltzmann-Grad . [1]
Interpretación física y aplicaciones
De manera esquemática, la ecuación de Liouville nos da la evolución en el tiempo del conjunto -sistema de partículas en forma , que expresa un flujo incompresible de la densidad de probabilidad en el espacio de fase. Luego definimos las funciones de distribución reducida de forma incremental integrando los grados de libertad de otra partícula. Una ecuación en la jerarquía BBGKY nos dice que la evolución en el tiempo para tal En consecuencia, está dada por una ecuación similar a la de Liouville, pero con un término de corrección que representa la fuerza-influencia de la partículas suprimidas
El problema de resolver la jerarquía de ecuaciones BBGKY es tan difícil como resolver la ecuación de Liouville original, pero se pueden hacer fácilmente aproximaciones para la jerarquía BBGKY (que permiten el truncamiento de la cadena en un sistema finito de ecuaciones). El mérito de estas ecuaciones es que las funciones de distribución superior afectar la evolución temporal de solo implícitamente a través de El truncamiento de la cadena BBGKY es un punto de partida común para muchas aplicaciones de la teoría cinética que se puede utilizar para la derivación de ecuaciones cinéticas clásicas [2] [3] o cuánticas [4] . En particular, el truncamiento en la primera ecuación o las dos primeras ecuaciones se puede utilizar para derivar ecuaciones de Boltzmann clásicas y cuánticas y las correcciones de primer orden a las ecuaciones de Boltzmann. Otras aproximaciones, como la suposición de que la función de probabilidad de densidad depende solo de la distancia relativa entre las partículas o la suposición del régimen hidrodinámico, también pueden hacer que la cadena BBGKY sea accesible a la solución. [5]
Bibliografía
Las funciones de distribución de partículas s fueron introducidas en la mecánica estadística clásica por J. Yvon en 1935. [6] La jerarquía de ecuaciones BBGKY para funciones de distribución de partículas s fue escrita y aplicada a la derivación de ecuaciones cinéticas por Bogoliubov en el artículo recibido en Julio de 1945 y publicado en 1946 en ruso [2] y en inglés. [3] La teoría del transporte cinético fue considerada por Kirkwood en el artículo [7] recibido en octubre de 1945 y publicado en marzo de 1946, y en los artículos posteriores. [8] El primer artículo de Born y Green consideró una teoría cinética general de los líquidos y fue recibido en febrero de 1946 y publicado el 31 de diciembre de 1946. [9]
Ver también
Referencias
- ^ Harold Grad (1949). Sobre la teoría cinética de los gases enrarecidos. Comunicaciones sobre matemáticas puras y aplicadas, 2 (4), 331–407.
- ↑ a b N. N. Bogoliubov (1946). "Ecuaciones cinéticas". Revista de Física Experimental y Teórica (en ruso). 16 (8): 691–702.
- ^ a b NN Bogoliubov (1946). "Ecuaciones cinéticas". Revista de física de la URSS . 10 (3): 265-274.
- ^ NN Bogoliubov , KP Gurov (1947). "Ecuaciones cinéticas en mecánica cuántica". Revista de Física Experimental y Teórica (en ruso). 17 (7): 614–628.
- ^ Harris, S. (2004). Introducción a la teoría de la ecuación de Boltzmann. Corporación de mensajería.
- ↑ J. Yvon (1935): La théorie statistique des fluides et l'équation d'état (en francés), Actual. Sci. & Indust. № 203 (París, Hermann).
- ^ John G. Kirkwood (marzo de 1946). "La Teoría Mecánica Estadística de los Procesos de Transporte I. Teoría General". La Revista de Física Química . 14 (3): 180–201. Código bibliográfico : 1946JChPh..14..180K . doi : 10.1063 / 1.1724117 .
- ^ John G. Kirkwood (enero de 1947). "La Teoría Mecánica Estadística de los Procesos de Transporte II. Transporte en Gases". La Revista de Física Química . 15 (1): 72–76. Código bibliográfico : 1947JChPh..15 ... 72K . doi : 10.1063 / 1.1746292 .
- ^ M. Born y HS Green (31 de diciembre de 1946). "Una teoría cinética general de los líquidos I. Las funciones de distribución molecular" . Proc. Roy. Soc. Una . 188 (1012): 10–18. Código bibliográfico : 1946RSPSA.188 ... 10B . doi : 10.1098 / rspa.1946.0093 . PMID 20282515 .