Las ecuaciones de Maxwell-Bloch , también llamadas ecuaciones ópticas de Bloch [1] describen la dinámica de un sistema cuántico de dos estados que interactúa con el modo electromagnético de un resonador óptico. Son análogas (pero no equivalentes) a las ecuaciones de Bloch que describen el movimiento del momento magnético nuclear en un campo electromagnético. Las ecuaciones se pueden derivar de forma semiclásica o con el campo completamente cuantificado cuando se hacen ciertas aproximaciones.
La derivación de las ecuaciones ópticas semiclásicas de Bloch es casi idéntica a la resolución del sistema cuántico de dos estados (ver la discusión allí). Sin embargo, normalmente se convierten estas ecuaciones en una forma de matriz de densidad. El sistema que estamos tratando se puede describir mediante la función de onda:
La matriz de densidad es
(Son posibles otras convenciones; esto sigue la derivación de Metcalf (1999)). [2] Ahora se puede resolver la ecuación de movimiento de Heisenberg, o traducir los resultados de resolver la ecuación de Schrödinger en forma de matriz de densidad. Se llega a las siguientes ecuaciones, incluida la emisión espontánea:
En la derivación de estas fórmulas, definimos y . También se asumió explícitamente que la emisión espontánea se describe mediante una disminución exponencial del coeficiente con decaimiento constante . es la frecuencia Rabi , que es
- ,
y es la desafinación y mide qué tan lejos la frecuencia de la luz, , es de la transición, . Aquí,es el momento dipolar de transición para el transición y es la amplitud del campo eléctrico vectorial, incluida la polarización (en el sentido).
Comenzando con el Hamiltoniano de Jaynes-Cummings bajo un impulso coherente
dónde es el operador de descenso para el campo de la cavidad, yes el operador de descenso atómico escrito como una combinación de matrices de Pauli . La dependencia del tiempo se puede eliminar transformando la función de onda de acuerdo con, lo que lleva a un hamiltoniano transformado
dónde . Tal como está ahora, el hamiltoniano tiene cuatro términos. Los dos primeros son la energía propia del átomo (u otro sistema de dos niveles) y el campo. El tercer término es un término de interacción de conservación de energía que permite que la cavidad y el átomo intercambien población y coherencia. Estos tres términos por sí solos dan lugar a la escala de Jaynes-Cummings de estados vestidos y la anarmonicidad asociada en el espectro de energía. El último término modela el acoplamiento entre el modo de cavidad y un campo clásico, es decir, un láser. La fuerza de la unidad se da en términos de la potencia transmitida a través de la cavidad de dos lados vacía como , dónde es el ancho de línea de la cavidad. Esto saca a la luz un punto crucial sobre el papel de la disipación en el funcionamiento de un láser u otro dispositivo CQED ; La disipación es el medio por el cual el sistema (átomo / cavidad acoplados) interactúa con su entorno. Con este fin, la disipación se incluye enmarcando el problema en términos de la ecuación maestra, donde los dos últimos términos están en la forma de Lindblad.
Las ecuaciones de movimiento para los valores esperados de los operadores se pueden derivar de la ecuación maestra mediante las fórmulas y . Las ecuaciones de movimiento para, , y , el campo de la cavidad, la coherencia atómica y la inversión atómica, respectivamente, son
En este punto, hemos producido tres de una escalera infinita de ecuaciones acopladas. Como puede verse en la tercera ecuación, son necesarias correlaciones de orden superior. La ecuación diferencial para la evolución temporal decontendrá valores esperados de productos de operadores de orden superior, lo que dará lugar a un conjunto infinito de ecuaciones acopladas. De manera heurística hacemos la aproximación de que el valor esperado de un producto de operadores es igual al producto de los valores esperados de los operadores individuales. Esto es similar a asumir que los operadores no están correlacionados y es una buena aproximación al límite clásico. Resulta que las ecuaciones resultantes dan el comportamiento cualitativo correcto incluso en el régimen de excitación único. Además, para simplificar las ecuaciones, realizamos los siguientes reemplazos
Y las ecuaciones de Maxwell-Bloch se pueden escribir en su forma final
Dentro de la aproximación dipolo y la aproximación de onda rotatoria , la dinámica de la matriz de densidad atómica, al interactuar con el campo láser, se describe mediante la ecuación óptica de Bloch, cuyo efecto se puede dividir en dos partes: [3] Fuerza óptica dipolo y fuerza de dispersión . [4]