Semigroup
En matemáticas, un semigrupo es una estructura algebraica que consta de un conjunto junto con una operación binaria asociativa .
La operación binaria de un semigrupo a menudo se denota multiplicativamente : x · y , o simplemente xy , denota el resultado de aplicar la operación de semigrupo al par ordenado ( x , y ) . La asociatividad se expresa formalmente como que ( x · y ) · z = x · ( y · z ) para todo x , y y z en el semigrupo.
Los semigrupos pueden ser considerados un caso especial de magmas , donde la operación es asociativa, o como una generalización de grupos , sin requerir la existencia de un elemento de identidad o inversas. [nota 1] Como en el caso de los grupos o magmas, la operación de semigrupo no necesita ser conmutativa , por lo que x · y no es necesariamente igual a y · x ; un ejemplo bien conocido de una operación que es asociativa pero no conmutativa es la multiplicación de matrices . Si la operación de semigrupo es conmutativa, entonces el semigrupo se denomina semigrupo conmutativo o (con menos frecuencia que en elcaso análogo de grupos ) se le puede llamar semigrupo abeliano .
Un monoide es una estructura algebraica intermedia entre grupos y semigrupos, y es un semigrupo que tiene un elemento de identidad , obedeciendo así todos menos uno de los axiomas de un grupo: la existencia de inversos no se requiere de un monoide. Un ejemplo natural son las cadenas con concatenación como operación binaria y la cadena vacía como elemento de identidad. La restricción a cadenas no vacías da un ejemplo de un semigrupo que no es un monoide. Los enteros positivos con suma forman un semigrupo conmutativo que no es un monoide, mientras que los enteros no negativosforman un monoide. Un semigrupo sin un elemento de identidad se puede convertir fácilmente en un monoide con solo agregar un elemento de identidad. En consecuencia, los monoides se estudian en la teoría de semigrupos más que en la teoría de grupos. Los semigrupos no deben confundirse con los cuasigrupos , que son una generalización de grupos en una dirección diferente; la operación en un cuasigrupo no necesita ser asociativa, pero los cuasigrupos preservan de los grupos una noción de división . La división en semigrupos (o en monoides) no es posible en general.
El estudio formal de los semigrupos comenzó a principios del siglo XX. Los primeros resultados incluyen un teorema de Cayley para semigrupos que realizan cualquier semigrupo como semigrupo de transformación , en el que las funciones arbitrarias reemplazan el papel de las biyecciones de la teoría de grupos. Un resultado profundo en la clasificación de semigrupos finitos es la teoría de Krohn-Rhodes , análoga a la descomposición de Jordan-Hölder para grupos finitos. Algunas otras técnicas para estudiar semigrupos, como las relaciones de Green , no se parecen a nada en la teoría de grupos.
La teoría de los semigrupos finitos ha sido de particular importancia en la informática teórica desde la década de 1950 debido al vínculo natural entre los semigrupos finitos y los autómatas finitos a través del monoide sintáctico . En la teoría de la probabilidad , los semigrupos están asociados con los procesos de Markov . [1] En otras áreas de las matemáticas aplicadas , los semigrupos son modelos fundamentales para sistemas lineales invariantes en el tiempo . En ecuaciones diferenciales parciales , un semigrupo está asociado a cualquier ecuación cuya evolución espacial sea independiente del tiempo.
