En matemáticas , la condición de cadena ascendente ( ACC ) y la condición de cadena descendente ( DCC ) son propiedades de finitud satisfechas por algunas estructuras algebraicas , sobre todo ideales en ciertos anillos conmutativos . [1] [2] [3] Estas condiciones jugaron un papel importante en el desarrollo de la teoría de la estructura de los anillos conmutativos en las obras de David Hilbert , Emmy Noether y Emil Artin . Las condiciones mismas pueden enunciarse en forma abstracta, de modo que tengan sentido para cualquierconjunto parcialmente ordenado . Este punto de vista es útil en la teoría de la dimensión algebraica abstracta debido a Gabriel y Rentschler.
Definición
Se dice que un conjunto parcialmente ordenado (poset) P satisface la condición de cadena ascendente (ACC) si no hay una secuencia infinita estrictamente ascendente
de elementos de P existe. [4] De manera equivalente, [nota 1] cada secuencia ligeramente ascendente
de elementos de P finalmente se estabiliza, lo que significa que existe un entero positivo n tal que
Del mismo modo, P se dice para satisfacer la condición de cadena descendente (DCC) si no hay cadena descendente infinita de elementos de P . [4] De manera equivalente, cada secuencia ligeramente descendente
de elementos de P finalmente se estabiliza.
Comentarios
- Suponiendo el axioma de elección dependiente , la condición de cadena descendente en el poset P (posiblemente infinito) es equivalente a que P esté bien fundado : cada subconjunto no vacío de P tiene un elemento mínimo (también llamado condición mínima o condición mínima ). Un conjunto totalmente ordenado que está bien fundado es un conjunto bien ordenado .
- De manera similar, la condición de cadena ascendente es equivalente a que P sea recíprocamente bien fundada (nuevamente, asumiendo una elección dependiente): cada subconjunto no vacío de P tiene un elemento máximo (la condición máxima o condición máxima ).
- Cada poset finito satisface las condiciones de la cadena ascendente y descendente y, por lo tanto, está bien fundado y, a la vez, bien fundado.
Ejemplo
Considere el anillo
de enteros. Cada ideal de consta de todos los múltiplos de algún número . Por ejemplo, el ideal
consta de todos los múltiplos de . Dejar
ser el ideal que consta de todos los múltiplos de . El ideal está contenido dentro del ideal , ya que cada múltiplo de es también un múltiplo de . A su vez, el ideal está contenido en el ideal , ya que cada múltiplo de es un múltiplo de . Sin embargo, en este punto no existe un ideal más amplio; hemos "rematado" en.
En general, si son ideales de tal que está contenido en , está contenido en y así sucesivamente, hay algunos por lo cual todos . Es decir, después de algún momento todos los ideales son iguales entre sí. Por tanto, los ideales desatisfacen la condición de cadena ascendente, donde los ideales se ordenan por inclusión de conjuntos. Por esoes un anillo noetheriano .
Ver también
Notas
- ^ Prueba: primero, una secuencia estrictamente creciente no puede estabilizarse, obviamente. A la inversa, suponga que hay una secuencia ascendente que no se estabiliza; entonces claramente contiene una subsecuencia estrictamente creciente (necesariamente infinita). Note que la demostración no usa toda la fuerza del axioma de elección. [ aclaración necesaria ]
Referencias
- Atiyah, MF e IG MacDonald, Introducción al álgebra conmutativa , Perseus Books, 1969, ISBN 0-201-00361-9
- Michiel Hazewinkel , Nadiya Gubareni, VV Kirichenko. Álgebras, anillos y módulos . Editores académicos Kluwer , 2004. ISBN 1-4020-2690-0
- John B. Fraleigh, Victor J. Katz. Un primer curso de álgebra abstracta . Compañía editorial de Addison-Wesley. 5 ed., 1967. ISBN 0-201-53467-3
- Nathan Jacobson . Álgebra básica I. Dover, 2009. ISBN 978-0-486-47189-1