Dessin d'enfant
En matemáticas , un dessin d'enfant es un tipo de incrustación gráfica que se utiliza para estudiar superficies de Riemann y para proporcionar invariantes combinatorios para la acción del grupo de Galois absoluto de los números racionales . El nombre de estas incrustaciones es francés para un "dibujo de un niño"; su plural es dessins d'enfant , "dibujos de niños", o dessins d'enfants , "dibujos de niños".
Un dessin d'enfant es un grafo , con sus vértices coloreados alternativamente en blanco y negro, incrustado en una superficie orientada que, en muchos casos, es simplemente un plano . Para que exista el color, el gráfico debe ser bipartito . Las caras de la incrustación deben ser discos topológicos. La superficie y la incrustación pueden describirse combinatoriamente usando un sistema de rotación , un orden cíclico de los bordes que rodean cada vértice del gráfico que describe el orden en el que los bordes serían cruzados por un camino que viaja en el sentido de las agujas del reloj en la superficie en un pequeño bucle. alrededor del vértice.
Cualquier dessin puede proporcionar a la superficie en la que está incrustada una estructura como una superficie de Riemann. Es natural preguntarse qué superficies de Riemann surgen de esta manera. La respuesta la da el teorema de Belyi , que establece que las superficies de Riemann que pueden ser descritas por dessins son precisamente aquellas que pueden definirse como curvas algebraicas sobre el campo de los números algebraicos . El grupo absoluto de Galois transforma estas curvas particulares entre sí y, por lo tanto, también transforma las dessins subyacentes.
Las primeras protoformas de dessins d'enfants aparecieron ya en 1856 en el cálculo icosiano de William Rowan Hamilton ; [1] en términos modernos, estos son caminos hamiltonianos en el gráfico icosaédrico.
Felix Klein ( 1879 ) utilizó dessins d'enfants modernas y reconocibles y funciones de Belyi . Klein llamó a estos diagramas Linienzüge (alemán, plural de Linienzug "line-track", también utilizado como término para polígono ); usó un círculo blanco para la preimagen de 0 y un '+' para la preimagen de 1, en lugar de un círculo negro para 0 y un círculo blanco para 1 como en la notación moderna. [2] Usó estos diagramas para construir una cubierta de 11 pliegues de la esfera de Riemann por sí misma, con grupo de monodromía PSL (2,11), siguiendo construcciones anteriores de una cubierta de 7 pliegues con PSL de monodromía (2,7) conectada a el cuartico de Klein en (Klein 1878–1879a , 1878–1879b ). Todos ellos estaban relacionados con sus investigaciones sobre la geometría de la ecuación quíntica y el grupo A 5 ≅ PSL (2,5), recogidas en sus famosas Conferencias sobre el icosaedro de 1884/88 . Mucho más tarde se demostró que las tres superficies construidas de esta manera a partir de estos tres grupos estaban estrechamente relacionadas mediante el fenómeno de la trinidad .
Los Dessins d'enfant en su forma moderna fueron redescubiertos más de un siglo después y fueron nombrados por Alexander Grothendieck en 1984 en su Programa Esquisse d'un . [3] Zapponi (2003) cita a Grothendieck con respecto a su descubrimiento de la acción de Galois en dessins d'enfants:
