Análisis estadístico de formas
El análisis estadístico de formas es un análisis de las propiedades geométricas de un determinado conjunto de formas mediante métodos estadísticos . Por ejemplo, podría usarse para cuantificar las diferencias entre las formas del cráneo de los gorilas masculinos y femeninos, las formas óseas normales y patológicas , los contornos de las hojas con y sin herbivoría por insectos, etc. Los aspectos importantes del análisis de formas son obtener una medida de la distancia entre las formas, para estimar formas medias a partir de muestras (posiblemente aleatorias), para estimar la variabilidad de formas dentro de las muestras, para realizar agrupaciones y para probar las diferencias entre formas. [1] [2] Uno de los principales métodos utilizados es el análisis de componentes principales.(PCA). El análisis estadístico de formas tiene aplicaciones en varios campos, que incluyen imágenes médicas , [3] visión por computadora , anatomía computacional , medición de sensores y perfiles geográficos. [4]
En el modelo de distribución de puntos , una forma está determinada por un conjunto finito de puntos de coordenadas, conocidos como puntos de referencia . Estos puntos de referencia a menudo corresponden a características identificables importantes, como las esquinas de los ojos. Una vez que se recogen los puntos, se realiza algún tipo de registro . Este puede ser un método de referencia utilizado por Fred Bookstein para la morfometría geométrica en antropología . O un enfoque como el análisis de Procusto que encuentra una forma promedio.
David George Kendall investigó la distribución estadística de la forma de los triángulos y representó cada triángulo por un punto en una esfera. Usó esta distribución en la esfera para investigar las líneas ley y si era más probable que tres piedras fueran colineales de lo esperado. [5] La distribución estadística como la distribución de Kent se puede utilizar para analizar la distribución de dichos espacios.
Alternativamente, las formas se pueden representar mediante curvas o superficies que representan sus contornos, [6] por la región espacial que ocupan. [7]
Las diferencias entre formas se pueden cuantificar investigando las deformaciones que transforman una forma en otra. En particular, un difeomorfismo conserva la suavidad en la deformación. Esto fue pionero en On Growth and Form de D'Arcy Thompson antes de la llegada de las computadoras. [8] Las deformaciones se pueden interpretar como el resultado de una fuerza aplicada a la forma. Matemáticamente, una deformación se define como un mapeo de una forma x a una forma y por una función de transformación , es decir, . [9]Dada una noción de tamaño de deformaciones, la distancia entre dos formas se puede definir como el tamaño de la deformación más pequeña entre estas formas.
La difeomorfometría [10] se centra en la comparación de formas y formas con una estructura métrica basada en difeomorfismos, y es fundamental para el campo de la anatomía computacional . [11] El registro diffeomórfico, [12] introducido en los años 90, es ahora un actor importante con bases de códigos existentes organizadas en torno a ANTS, [13] DARTEL, [14] DEMONS, [15] LDDMM , [16] StationaryLDDMM, [17] y FastLDDMM [18] son ejemplos de códigos computacionales usados activamente para construir correspondencias entre sistemas de coordenadas basados en características dispersas e imágenes densas.La morfometría basada en vóxeles (VBM) es una tecnología importante construida sobre muchos de estos principios. También se utilizan métodos basados en flujos difeomórficos. Por ejemplo, las deformaciones podrían ser difeomorfismos del espacio ambiental, lo que da como resultado el marco LDDMM ( Large Deformation Diffeomorphic Metric Mapping ) para la comparación de formas. [19]