El índice de poder de Shapley-Shubik fue formulado por Lloyd Shapley y Martin Shubik en 1954 para medir los poderes de los jugadores en un juego de votación. [1] El índice a menudo revela una distribución de energía sorprendente que no es obvia en la superficie.
Los componentes de un sistema de votación, como los cuerpos legislativos, los ejecutivos, los accionistas, los legisladores individuales, etc., pueden verse como jugadores en un juego de n jugadores . Los jugadores con las mismas preferencias forman coaliciones. Cualquier coalición que tenga suficientes votos para aprobar un proyecto de ley o elegir un candidato se llama ganadora y las demás se llaman perdedoras. Basándose en el valor de Shapley , Shapley y Shubik concluyeron que el poder de una coalición no era simplemente proporcional a su tamaño.
El poder de una coalición (o de un jugador) se mide por la fracción de las posibles secuencias de votación en las que esa coalición emite el voto decisivo, es decir, el voto que primero garantiza la aprobación o el fracaso. [2]
El índice de poder se normaliza entre 0 y 1. Un poder de 0 significa que una coalición no tiene ningún efecto en el resultado del juego; y una potencia de 1 significa que una coalición determina el resultado mediante su voto. Además, la suma de los poderes de todos los jugadores siempre es igual a 1.
Existen algunos algoritmos para calcular el índice de potencia, por ejemplo, técnicas de programación dinámica, métodos de enumeración y métodos de Monte Carlo. [3]
Desde que Shapley y Shubik publicaron su artículo, se han utilizado varios enfoques axiomáticos para estudiar matemáticamente el índice de poder de Shapley-Shubik, siendo el axioma de anonimato, el axioma de jugador nulo, el axioma de eficiencia y el axioma de transferencia los más utilizados. Sin embargo, estos han sido criticados, especialmente el Transfer Axiom, que ha llevado a que se propongan otros axiomas como reemplazo. [4]
Ejemplos de
Suponga que las decisiones se toman por mayoría en un cuerpo que consta de A, B, C, D, que tienen 3, 2, 1 y 1 votos, respectivamente. El umbral de mayoría de votos es 4. ¡Hay 4! = 24 posibles órdenes de voto para estos miembros:
A B CD | A B DC | A C BD | A C DB | A D BC | A D CB |
B A CD | B A DC | BC A D | BC D A | BD A C | BD C A |
C A BD | C A DB | CB A D | CB D A | CD A B | CD B A |
D A BC | D A CB | DB A C | DB C A | DC A B | CC B A |
Para cada secuencia de votación, el votante pivote, el votante que primero aumenta la suma acumulada a 4 o más, aparece en negrita. Aquí, A es fundamental en 12 de las 24 secuencias. Por tanto, A tiene un índice de potencia 1/2. Los demás tienen un índice de potencia de 1/6. Curiosamente, B no tiene más poder que C y D. Cuando se considera que el voto de A determina el resultado a menos que los demás se unan contra A, queda claro que B, C, D juegan roles idénticos. Esto se refleja en los índices de potencia.
Supongamos que en otro cuerpo de votación de mayoría con miembros, en los que un solo miembro fuerte ha votos y el restante los miembros tienen un voto cada uno. En este caso, el miembro fuerte tiene un índice de poder de (a no ser que , en cuyo caso el índice de potencia es simplemente ). Tenga en cuenta que esto es más que la fracción de votos que obtiene el miembro fuerte. De hecho, este miembro fuerte tiene solo una fracciónde los votos. Considere, por ejemplo, una empresa que tiene 1000 acciones en circulación con derecho a voto. Un gran accionista tiene 400 acciones, mientras que otros 600 accionistas tienen 1 acción cada uno. Esto corresponde a y . En este caso, el índice de poder del gran accionista es de aproximadamente 0,666 (o 66,6%), a pesar de que este accionista posee solo el 40% de las acciones. Los 600 accionistas restantes tienen un índice de poder inferior a 0,0006 (o 0,06%). Por lo tanto, el gran accionista tiene más de 1000 veces más poder de voto que cualquier otro accionista, mientras que posee solo 400 veces más acciones. [1]
Lo anterior se puede derivar matemáticamente de la siguiente manera. Tenga en cuenta que se alcanza la mayoría si al menoslos votos se emiten a favor. Si, el miembro fuerte tiene claramente todo el poder, ya que en este caso (es decir, los votos del miembro fuerte por sí solos alcanzan el umbral de la mayoría). Supongamos ahora que y que en una secuencia de votación elegida al azar, el miembro fuerte vota como el th miembro. Esto significa que después de la primera miembro ha votado, se han emitido votos a favor, mientras que después de la primera los miembros han votado, se han emitido votos a favor. El voto de un miembro fuerte es fundamental si el primero no alcanza el umbral de la mayoría, mientras que el segundo sí lo hace. Es decir,, y . Podemos reescribir esta condición como. Tenga en cuenta que nuestra condición de asegura que y (es decir, todos los valores permitidos de son factibles). Por lo tanto, el miembro fuerte es el votante fundamental si asume uno de los valores de hasta pero sin incluir . Dado que cada uno de los posibles valores de está asociado con el mismo número de secuencias de votación, esto significa que el miembro fuerte es el votante fundamental en una fracción de las secuencias de votación. Es decir, el índice de poder del miembro fuerte es.
Aplicaciones
El índice se ha aplicado al análisis de las votaciones en el Consejo de la Unión Europea . [5]
El índice se ha aplicado al análisis de la votación en el Consejo de Seguridad de Naciones Unidas . El Consejo de Seguridad de la ONU está compuesto por quince estados miembros, de los cuales cinco (Estados Unidos de América, Rusia, China, Francia y Reino Unido) son miembros permanentes del consejo. Para que una moción sea aprobada en el Consejo, necesita el apoyo de cada miembro permanente y el apoyo de cuatro miembros no permanentes. Esto es equivalente a un cuerpo de votación donde los cinco miembros permanentes tienen ocho votos cada uno, los otros diez miembros tienen un voto cada uno y hay una cuota de cuarenta y cuatro votos, ya que entonces habría cincuenta votos en total, por lo que necesita los cinco votos permanentes miembros y luego otros cuatro votos para que se apruebe una moción. Tenga en cuenta que un miembro no permanente es fundamental en una permutación si y solo si está en la novena posición para votar y los cinco miembros permanentes ya han votado. Supongamos que tenemos una permutación en la que un miembro no permanente es fundamental. Luego, hay tres miembros no permanentes y cinco permanentes que deben anteponerse a este miembro fundamental en esta permutación. Por lo tanto, hayformas de elegir a estos miembros y así 8! ×diferentes órdenes de los miembros antes que el votante fundamental. ¡Entonces habría 6! formas de elegir a los votantes restantes después del votante fundamental. ¡Como hay un total de 15! permutaciones de 15 votantes, el índice de poder de Shapley-Shubik de un miembro no permanente es:. Por tanto, el índice de poder de un miembro permanente es.
Ver también
Referencias
- ^ a b Shapley, LS; Shubik, M. (1954). "Un método para evaluar la distribución de poder en un sistema de comités". Revista Estadounidense de Ciencias Políticas . 48 (3): 787–792. doi : 10.2307 / 1951053 . hdl : 10338.dmlcz / 143361 . JSTOR 1951053 .
- ^ Hu, Xingwei (2006). "Un índice de poder asimétrico de Shapley-Shubik". Revista Internacional de Teoría de Juegos . 34 (2): 229–240. doi : 10.1007 / s00182-006-0011-z .
- ^ Matsui, Tomomi; Matsui, Yasuko (2000). "Una encuesta de algoritmos para calcular índices de potencia de juegos mayoritarios ponderados" (PDF) . J. Oper. Res. Soc. Japón . 43 (1): 71–86..
- ^ Laruelle, Annick; Federico, Valenciano (2001). "Los índices de Shapley-Shubik y Banzhaf revisaron las matemáticas de la investigación de operaciones". Matemáticas de la investigación operativa . 26 (1): 89–95. doi : 10.1287 / moor.26.1.89.10589 .
- ^ Varela, Diego; Prado-Dominguez, Javier (1 de enero de 2012). "Negociando el Tratado de Lisboa: índices de redistribución, eficiencia y potencia" . Revista Económica Checa . 6 (2): 107-124.
enlaces externos
- Calculadora de índice de poder en línea (por Tomomi Matsui)
- Algoritmos informáticos para el análisis del poder de voto Algoritmos basados en web para el análisis del poder de voto
- Power Index Calculator Calcula varios índices para (múltiples) juegos de votación ponderados en línea. Incluye algunos ejemplos.
- Calcular el índice de potencia de Shapley-Shubik y el índice de potencia de Banzhaf con Python y R (por Frank Huettner)