Secuencia Sheffer
En matemáticas , una secuencia de Sheffer o poweroid es una secuencia polinomial , es decir, una secuencia ( p n ( x ) : n = 0, 1, 2, 3, ...) de polinomios en la que el índice de cada polinomio es igual a su grado , satisfaciendo condiciones relacionadas con el cálculo umbral en combinatoria . Llevan el nombre de Isador M. Sheffer .
Esto determina Q en todos los polinomios. La sucesión polinomial p n es una sucesión de Sheffer si el operador lineal Q recién definido es equivalente al desplazamiento ; tal Q es entonces un operador delta . Aquí, definimos un operador lineal Q en polinomios para que sea equivalente al desplazamiento si, siempre que f ( x ) = g ( x + a ) = T a g ( x ) es un "desplazamiento" de g ( x ), entonces ( Qf)( x ) = ( Qg )( x + a ); es decir, Q conmuta con cada operador de turno : T a Q = QT a .
El conjunto de todas las sucesiones de Sheffer es un grupo bajo la operación de composición umbral de sucesiones polinómicas, definido como sigue. Supongamos que ( p n (x) : n = 0, 1, 2, 3, ... ) y ( q n (x) : n = 0, 1, 2, 3, ... ) son secuencias polinómicas, dadas por
Entonces la composición umbral es la secuencia polinomial cuyo n -ésimo término es
(el subíndice n aparece en p n , ya que este es el término n de esa sucesión, pero no en q , ya que se refiere a la sucesión como un todo y no a uno de sus términos).
Dos subgrupos importantes son el grupo de sucesiones de Appell , que son aquellas sucesiones para las que el operador Q es mera diferenciación , y el grupo de sucesiones de tipo binomial , que son aquellas que satisfacen la identidad