En matemáticas , una secuencia polinomial , es decir, una secuencia de polinomios indexada por números enteros no negativosen el que el índice de cada polinomio es igual a su grado , se dice que es de tipo binomial si satisface la secuencia de identidades
Existen muchas de estas secuencias. El conjunto de todas estas secuencias forma un grupo de Lie bajo la operación de composición umbral, que se explica a continuación. Cada secuencia de tipo binomial puede expresarse en términos de polinomios de Bell . Cada secuencia de tipo binomial es una secuencia de Sheffer (pero la mayoría de las secuencias de Sheffer no son de tipo binomial). Las secuencias polinomiales pusieron sobre una base firme las vagas nociones del cálculo umbral del siglo XIX .
Ejemplos de
- Como consecuencia de esta definición, el teorema del binomio puede enunciarse diciendo que la sucesión { x n : n = 0, 1, 2,…} es de tipo binomial.
- La secuencia de " factoriales inferiores " se define por (En la teoría de funciones especiales, esta misma notación denota factoriales superiores , pero este uso actual es universal entre los combinatorios ). Se entiende que el producto es 1 si n = 0, ya que en ese caso es un producto vacío . Esta secuencia polinomial es de tipo binomial.
- Del mismo modo, los " factoriales superiores " son una secuencia polinomial de tipo binomial.
- Los polinomios de Abelson una secuencia polinomial de tipo binomial.
- Los polinomios de Toucharddonde S ( n , k ) es el número de particiones de un conjunto de tamaño n en k subconjuntos no vacíos disjuntos, es una secuencia polinomial de tipo binomial. Eric Temple Bell los llamó "polinomios exponenciales" y ese término también se ve a veces en la literatura. Los coeficientes S ( n , k ) son " números de Stirling del segundo tipo". Esta secuencia tiene una relación curiosa con la distribución de Poisson : si X es una variable aleatoria con una distribución de Poisson con valor esperado λ entonces E ( X n ) = p n (λ). En particular, cuando λ = 1, vemos que el n- ésimo momento de la distribución de Poisson con valor esperado 1 es el número de particiones de un conjunto de tamaño n , llamado n- ésimo número de Bell . Este hecho sobre el n- ésimo momento de esa distribución de Poisson particular es la " fórmula de Dobinski ".
Caracterización por operadores delta
Se puede demostrar que una secuencia polinomial { p n (x): n = 0, 1, 2,…} es de tipo binomial si y solo si se cumplen las tres condiciones siguientes:
- La transformación lineal en el espacio de polinomios en x que se caracteriza por es equivariante de desplazamiento , y
- p 0 ( x ) = 1 para todo x , y
- p n (0) = 0 para n > 0.
(La afirmación de que este operador es equivariante de desplazamiento es lo mismo que decir que la secuencia polinomial es una secuencia de Sheffer ; el conjunto de secuencias de tipo binomial se incluye correctamente dentro del conjunto de secuencias de Sheffer).
Operadores delta
Esa transformación lineal es claramente un operador delta , es decir, una transformación lineal equivariante de desplazamiento en el espacio de polinomios en x que reduce los grados de polinomios en 1. Los ejemplos más obvios de operadores delta son los operadores de diferencia y la diferenciación. Se puede demostrar que cada operador delta se puede escribir como una serie de potencias de la forma
donde D es diferenciación (tenga en cuenta que el límite inferior de la suma es 1). Cada operador delta Q tiene una secuencia única de "polinomios básicos", es decir, una secuencia polinómica que satisface
Rota , Kahaner y Odlyzko demostraron en 1973 que una secuencia polinomial es de tipo binomial si y solo si es la secuencia de polinomios básicos de algún operador delta. Por lo tanto, este párrafo equivale a una receta para generar tantas secuencias polinómicas de tipo binomial como se desee.
Caracterización por polinomios de Bell
Para cualquier secuencia a 1 , a 2 , a 3 , ... de escalares, sea
donde B n , k ( a 1 ,…, a n - k +1 ) es el polinomio de Bell . Entonces esta secuencia polinomial es de tipo binomial. Tenga en cuenta que para cada n ≥ 1,
Aquí está el resultado principal de esta sección:
Teorema: Todas las secuencias polinómicas de tipo binomial son de esta forma.
Un resultado en Mullin y Rota, repetido en Rota, Kahaner y Odlyzko (ver Referencias a continuación) establece que cada secuencia polinomial { p n ( x )} n de tipo binomial está determinada por la secuencia { p n ′ (0)} n , pero esas fuentes no mencionan los polinomios de Bell.
Esta secuencia de escalares también está relacionada con el operador delta. Dejar
Luego
es el operador delta de esta secuencia.
Caracterización por una identidad de convolución
Para las secuencias a n , b n , n = 0, 1, 2,…, defina una especie de convolución por
Dejar ser el n º término de la sucesión
Entonces, para cualquier secuencia a i , i = 0, 1, 2, ..., con a 0 = 0, la secuencia definida por p 0 ( x ) = 1 y
para n ≥ 1, es de tipo binomial, y toda secuencia de tipo binomial es de esta forma.
Caracterización generando funciones
Las secuencias polinomiales de tipo binomial son precisamente aquellas cuyas funciones generadoras son series de potencia formales (no necesariamente convergentes) de la forma
donde f ( t ) es una serie de potencias formal cuyo término constante es cero y cuyo término de primer grado no es cero. Se puede demostrar mediante el uso de la versión en serie de potencia de la fórmula de Faà di Bruno que
El operador delta de la secuencia es f −1 ( D ), de modo que
Una forma de pensar en estas funciones generadoras
Los coeficientes en el producto de dos series de potencias formales
y
están
(ver también producto Cauchy ). Si pensamos en x como un parámetro que indexa una familia de tales series de potencias, entonces la identidad binomial dice en efecto que la serie de potencias indexadas por x + y es el producto de las indexadas por xy por y . Por lo tanto, x es el argumento de una función que asigna sumas a productos: una función exponencial
donde f ( t ) tiene la forma dada arriba.
Composición umbral de secuencias polinomiales
El conjunto de todas las secuencias polinomiales de tipo binomial es un grupo en el que la operación de grupo es "composición umbral" de secuencias polinomiales. Esa operación se define de la siguiente manera. Suponga que { p n ( x ): n = 0, 1, 2, 3, ...} y { q n ( x ): n = 0, 1, 2, 3, ...} son secuencias polinómicas, y
Entonces la composición de umbral p o q es la secuencia polinomio cuyos n º plazo es
(el subíndice n aparece en p n , ya que este es el término n de esa secuencia, pero no en q , ya que se refiere a la secuencia como un todo en lugar de a uno de sus términos).
Con el operador delta definido por una serie de potencias en D como anteriormente, la biyección natural entre operadores delta y secuencias polinomiales de tipo binomial, también definidas anteriormente, es un isomorfismo de grupo, en el que la operación de grupo en series de potencias es una composición formal de potencia formal serie.
Acumulantes y momentos
La secuencia κ n de coeficientes de los términos de primer grado en una secuencia polinomial de tipo binomial puede denominarse acumulativos de la secuencia polinomial. Se puede demostrar que toda la secuencia polinomial de tipo binomial está determinada por sus acumuladores, de una manera discutida en el artículo titulado acumulante . Por lo tanto
- el n º cumulante
y
- el n º momento.
Estos son acumulativos "formales" y momentos "formales" , a diferencia de los acumulados de una distribución de probabilidad y momentos de una distribución de probabilidad.
Dejar
ser la función generadora de acumuladores (formales). Luego
es el operador delta asociado con la secuencia polinomial, es decir, tenemos
Aplicaciones
El concepto de tipo binomial tiene aplicaciones en combinatoria , probabilidad , estadística y una variedad de otros campos.
Ver también
- Lista de temas factoriales y binomiales
- Binomial-QMF (filtros de ondas de Daubechies)
Referencias
- G.-C. Rota , D. Kahaner y A. Odlyzko , "Cálculo de operadores finitos", Revista de análisis matemático y sus aplicaciones , vol. 42, no. 3, junio de 1973. Reimpreso en el libro del mismo título, Academic Press, Nueva York, 1975.
- R. Mullin y G.-C. Rota, "Sobre los fundamentos de la teoría combinatoria III: teoría de la enumeración binomial", en Graph Theory and Its Applications , editado por Bernard Harris, Academic Press, Nueva York, 1970.
Como sugiere el título, el segundo de los anteriores trata explícitamente de aplicaciones a la enumeración combinatoria .
- di Bucchianico, Alessandro. Aspectos probabilísticos y analíticos del cálculo umbral , Amsterdam, CWI , 1997.
- Weisstein, Eric W. "Secuencia de tipo binomial" . MathWorld .