En matemáticas antes de la década de 1970, el término cálculo umbral se refería a la sorprendente similitud entre ecuaciones polinomiales aparentemente no relacionadas y ciertas técnicas oscuras utilizadas para "probarlas". Estas técnicas fueron introducidas por John Blissard ( 1861 ) y, a veces, se las denomina método simbólico de Blissard . A menudo se atribuyen a Édouard Lucas (o James Joseph Sylvester ), que utilizó la técnica de forma extensiva. [1]
Historia corta
En las décadas de 1930 y 1940, Eric Temple Bell intentó establecer el cálculo umbral sobre una base rigurosa.
En la década de 1970, Steven Roman , Gian-Carlo Rota y otros desarrollaron el cálculo umbral mediante funcionales lineales en espacios de polinomios. Actualmente, el cálculo umbral se refiere al estudio de secuencias de Sheffer , incluidas las secuencias polinomiales de tipo binomial y las secuencias de Appell , pero puede abarcar técnicas de correspondencia sistemática del cálculo de diferencias finitas .
El cálculo umbral del siglo XIX
El método es un procedimiento de notación utilizado para derivar identidades que involucran secuencias indexadas de números pretendiendo que los índices son exponentes . Interpretado literalmente, es absurdo y, sin embargo, tiene éxito: las identidades derivadas a través del cálculo umbral también pueden derivarse correctamente mediante métodos más complicados que pueden tomarse literalmente sin dificultad lógica.
Un ejemplo involucra los polinomios de Bernoulli . Considere, por ejemplo, la expansión binomial ordinaria (que contiene un coeficiente binomial ):
y la relación de aspecto notablemente similar en los polinomios de Bernoulli :
Compare también la derivada ordinaria
a una relación de aspecto muy similar en los polinomios de Bernoulli:
Estas similitudes permiten construir pruebas umbral que, en la superficie, no pueden ser correctas, pero parecen funcionar de todos modos. Así, por ejemplo, pretendiendo que el subíndice n - k es un exponente:
y luego diferenciando, se obtiene el resultado deseado:
En lo anterior, la variable b es un "umbra" ( América para sombra ).
Consulte también la fórmula de Faulhaber .
Serie Umbral Taylor
También se observaron relaciones similares en la teoría de diferencias finitas . La versión umbral de la serie de Taylor viene dada por una expresión similar que involucra las k -ésimas diferencias hacia adelante de una función polinomial f ,
dónde
es el símbolo Pochhammer utilizado aquí para el producto secuencial descendente. Una relación similar se mantiene para las diferencias hacia atrás y el factorial ascendente.
Esta serie también se conoce como la serie de Newton o la expansión de diferencia hacia adelante de Newton . La analogía con la expansión de Taylor se utiliza en el cálculo de diferencias finitas .
Bell y Riordan
En las décadas de 1930 y 1940, Eric Temple Bell intentó sin éxito hacer que este tipo de argumento fuera lógicamente riguroso. El combinatorio John Riordan en su libro Combinatorial Identities publicado en la década de 1960, utilizó técnicas de este tipo ampliamente.
El cálculo umbral moderno
Otro combinatorio, Gian-Carlo Rota , señaló que el misterio se desvanece si se considera el funcional lineal L en polinomios en z definido por
Luego, usando la definición de los polinomios de Bernoulli y la definición y linealidad de L , se puede escribir
Esto le permite a uno reemplazar las ocurrencias de por , es decir, mueva la n de un subíndice a un superíndice (la operación clave del cálculo umbral). Por ejemplo, ahora podemos demostrar que:
Rota declaró más tarde que mucha confusión resultó de la falta de distinción entre tres relaciones de equivalencia que ocurren con frecuencia en este tema, todas las cuales fueron denotadas por "=".
En un artículo publicado en 1964, Rota utilizó métodos de umbral para establecer la fórmula de recursividad satisfecha por los números de Bell , que enumeran particiones de conjuntos finitos.
En el artículo de Roman y Rota citado a continuación, el cálculo umbral se caracteriza como el estudio del álgebra umbral , definida como el álgebra de funcionales lineales sobre el espacio vectorial de polinomios en una variable x , con un producto L 1 L 2 de lineal funcionales definidos por
Cuando las secuencias polinomiales reemplazan secuencias de números como imágenes de y n bajo el mapeo lineal L , entonces el método umbral se considera un componente esencial de la teoría general de polinomios especiales de Rota, y esa teoría es el cálculo umbral según algunas definiciones más modernas de el termino. [2] Una pequeña muestra de esa teoría se puede encontrar en el artículo sobre secuencias polinomiales de tipo binomial . Otro es el artículo titulado Secuencia de Sheffer .
Posteriormente, Rota aplicó extensamente el cálculo umbral en su artículo con Shen para estudiar las diversas propiedades combinatorias de los acumulantes . [3]
Ver también
- Composición umbral de secuencias polinomiales
- Cálculo de diferencias finitas
- Polinomios de pidduck
- Método simbólico en teoría invariante
Notas
- ^ ET Bell, "La historia del método simbólico de Blissard, con un bosquejo de la vida de su inventor", The American Mathematical Monthly 45 : 7 (1938), págs. 414–421.
- ^ Rota, GC; Kahaner, D .; Odlyzko, A. (1973). "Sobre los fundamentos de la teoría combinatoria. VIII. Cálculo de operadores finitos". Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . 42 (3): 684. doi : 10.1016 / 0022-247X (73) 90172-8 .
- ^ G.-C. Rota y J. Shen, "Sobre la combinatoria de los acumuladores" , Journal of Combinatorial Theory, Serie A , 91: 283-304, 2000.
Referencias
- Bell, ET (1938), "The History of Blissard's Symbolic Method, with a Sketch of its Inventor's Life", The American Mathematical Monthly , Mathematical Association of America , 45 (7): 414–421, doi : 10.1080 / 00029890.1938.11990829 , ISSN 0002-9890 , JSTOR 2304144
- Blissard, John (1861), "Teoría de ecuaciones genéricas" , The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics , 4 : 279-305
- Roman, Steven M .; Rota, Gian-Carlo (1978), "The umbral calculus", Advances in Mathematics , 27 (2): 95–188, doi : 10.1016 / 0001-8708 (78) 90087-7 , ISSN 0001-8708 , MR 0485417
- G.-C. Rota, D. Kahaner y A. Odlyzko , "Cálculo de operadores finitos", Revista de análisis matemático y sus aplicaciones, vol. 42, no. 3, junio de 1973. Reimpreso en el libro del mismo título, Academic Press, Nueva York, 1975.
- Roman, Steven (1984), El cálculo umbral , Matemáticas puras y aplicadas, 111 , Londres: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-594380-2, MR 0741185. Reimpreso por Dover, 2005.
- Roman, S. (2001) [1994], "Umbral calculus" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Cálculo Umbral" . MathWorld .
- A. Di Bucchianico, D. Loeb (2000). "Una encuesta seleccionada de cálculo umbral" (PDF) . Revista electrónica de combinatoria . Encuestas dinámicas. DS3 . Archivado desde el original (PDF) el 24 de febrero de 2012.
- Roman, S. (1982), The Theory of the Umbral Calculus, I