En matemáticas , el espacio de Sierpiński (o el conjunto de dos puntos conectados ) es un espacio topológico finito con dos puntos, de los cuales solo uno está cerrado . [1] Es el ejemplo más pequeño de un espacio topológico que no es ni trivial ni discreto . Lleva el nombre de Wacław Sierpiński .
El espacio de Sierpiński tiene relaciones importantes con la teoría de la computación y la semántica , [2] [3] porque es el espacio de clasificación para conjuntos abiertos en la topología de Scott .
Explícitamente, el espacio de Sierpiński es un espacio topológico S cuyo conjunto de puntos subyacente es {0,1} y cuyos conjuntos abiertos son
Un espacio topológico finito también está determinado únicamente por su preorden de especialización . Para el espacio de Sierpiński, este preorden es en realidad un orden parcial y está dado por
El espacio de Sierpiński S es un caso especial tanto de la topología de punto particular finito (con punto particular 1) como de la topología de punto excluido finito (con punto excluido 0). Por lo tanto, S tiene muchas propiedades en común con una o ambas de estas familias.
Sea X un conjunto arbitrario. El conjunto de todas las funciones desde X hasta el conjunto {0,1} normalmente se denota como 2 X . Estas funciones son precisamente las funciones características de X. Cada una de estas funciones es de la forma