En la rama de las matemáticas conocida como topología , el preorden de especialización (o canónico ) es un preorden natural en el conjunto de puntos de un espacio topológico . Para la mayoría de los espacios que se consideran en la práctica, es decir, para todos aquellos que satisfacen el axioma de separación T 0 , este preorden es incluso un orden parcial (llamado orden de especialización ). Por otro lado, para los espacios T 1 el orden se vuelve trivial y tiene poco interés.
El orden de especialización se considera a menudo en aplicaciones en informática , donde los espacios T 0 ocurren en semántica denotacional . El orden de especialización también es importante para identificar topologías adecuadas en conjuntos parcialmente ordenados, como se hace en la teoría de órdenes .
Definición y motivación
Considere cualquier espacio topológico X . El preorden de especialización ≤ sobre X relaciona dos puntos de X cuando uno se encuentra en el cierre del otro. Sin embargo, varios autores no están de acuerdo en qué "dirección" debe ir la orden. Lo que se acordó [ cita requerida ] es que si
- x está contenido en cl { y },
(donde cl { y } denota el cierre del conjunto singleton { y }, es decir, la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen { y }), decimos que x es una especialización de y y que y es una generización de x ; esto se escribe comúnmente y ⤳ x .
Desafortunadamente, la propiedad " x es una especialización de y " se escribe alternativamente como " x ≤ y " y como " y ≤ x " por varios autores (ver, respectivamente, [1] y [2] ).
Ambas definiciones tienen justificaciones intuitivas: en el caso de la primera, tenemos
- x ≤ y si y solo si cl { x } ⊆ cl { y }.
Sin embargo, en el caso donde nuestro espacio X es el espectro primario Spec R de un anillo conmutativo R (que es la situación motivacional en aplicaciones relacionadas con la geometría algebraica ), entonces bajo nuestra segunda definición del orden, tenemos
- y ≤ x si y sólo si y ⊆ x como ideales primos del anillo R .
En aras de la coherencia, en el resto de este artículo tomaremos la primera definición, que " x es una especialización de y " se escribirá como x ≤ y . Entonces vemos,
- x ≤ y si y solo si x está contenido en todos los conjuntos cerrados que contienen y .
- x ≤ y si y solo si y está contenido en todos los conjuntos abiertos que contienen x .
Estas reformulaciones ayudan a explicar por qué se habla de una "especialización": y es más general que x , ya que está contenida en conjuntos más abiertos. Esto es particularmente intuitivo si uno ve los conjuntos cerrados como propiedades que un punto x puede tener o no. Cuanto más conjuntos cerrados contienen un punto, más propiedades tiene el punto y más especial es. El uso es consistente con las nociones lógicas clásicas de género y especie ; y también con el uso tradicional de puntos genéricos en geometría algebraica , en el que los puntos cerrados son los más específicos, mientras que un punto genérico de un espacio es uno contenido en cada subconjunto abierto no vacío. La especialización como idea se aplica también en la teoría de la valoración .
La intuición de que los elementos superiores son más específicos se encuentra típicamente en la teoría de dominios , una rama de la teoría del orden que tiene amplias aplicaciones en la informática.
Conjuntos superior e inferior
Deje X un espacio topológico y dejar que sea el orden previo ≤ especialización en X . Todo conjunto abierto es un conjunto superior con respecto a ≤ y todo conjunto cerrado es un conjunto inferior . Lo contrario, en general, no es cierto. De hecho, un espacio topológico es un espacio discreto de Alexandrov si y solo si todos los conjuntos superiores también están abiertos (o, de manera equivalente, todos los conjuntos inferiores también están cerrados).
Deje A un subconjunto de X . El conjunto superior más pequeño que contiene A se denota ↑ A y el conjunto más pequeño inferior que contiene A se denota ↓ A . En caso de que A = { x } sea singleton, se usa la notación ↑ x y ↓ x . Para x ∈ X uno tiene:
- ↑ x = { y ∈ X : x ≤ y } = ∩ {conjuntos abiertos que contienen x }.
- ↓ x = { y ∈ X : y ≤ x } = ∩ {conjuntos cerrados que contienen x } = cl { x }.
El conjunto inferior ↓ x siempre está cerrado; sin embargo, no es necesario que el conjunto superior ↑ x esté abierto o cerrado. Los puntos cerrados de un espacio topológico X son precisamente los elementos mínimos de X con respecto a ≤.
Ejemplos de
- En el espacio de Sierpinski {0,1} con conjuntos abiertos {∅, {1}, {0,1}} el orden de especialización es el natural (0 ≤ 0, 0 ≤ 1 y 1 ≤ 1).
- Si p , q son elementos de Spec ( R ) (el espectro de un anillo conmutativo R ) entonces p ≤ q si y solo si q ⊆ p (como ideales primos ). Por tanto, los puntos cerrados de Spec ( R ) son precisamente los ideales máximos .
Propiedades importantes
Como sugiere el nombre, el preorden de especialización es un preorden, es decir, es reflexivo y transitivo .
La relación de equivalencia determinada por el preorden de especialización es simplemente la de indistinguibilidad topológica . Es decir, x y y son topológicamente indistinguible si y sólo si x ≤ y y y ≤ x . Por lo tanto, la antisimetría de ≤ es precisamente la T 0 separación axioma: si x y y son indistinguibles entonces x = y . En este caso se justifica hablar de orden de especialización .
Por otro lado, la simetría de orden previo especialización es equivalente a la R 0 axiomas de separación: x ≤ y si y sólo si x y y son topológicamente indistinguibles. De ello se deduce que si la topología subyacente es T 1 , entonces el orden de especialización es discreto, es decir, uno tiene x ≤ y si y solo si x = y . Por tanto, el orden de especialización tiene poco interés para las topologías T 1 , especialmente para todos los espacios de Hausdorff .
Cualquier función continua entre dos espacios topológicos es monótona con respecto a los preordenes de especialización de estos espacios. Sin embargo, lo contrario no es cierto en general. En el lenguaje de la teoría de categorías , tenemos un funtor de la categoría de espacios topológicos a la categoría de conjuntos preordenados que asigna a un espacio topológico su preorden de especialización. Este funtor tiene un adjunto izquierdo , que coloca la topología de Alexandrov en un conjunto preordenado.
Hay espacios más específicos que los espacios T 0 para los que este orden es interesante: los espacios sobrios . Su relación con el orden de especialización es más sutil:
Para cualquier espacio sobrio X con orden de especialización ≤, tenemos
- ( X , ≤) es un orden parcial completo dirigido , es decir, cada subconjunto dirigido S de ( X , ≤) tiene un supremum sup S ,
- para cada subconjunto dirigido S de ( X , ≤) y cada conjunto abierto O , si sup S está en O , entonces S y O tienen una intersección no vacía .
Se puede describir la segunda propiedad diciendo que los conjuntos abiertos son inaccesibles por suprema dirigido . Una topología es un orden consistente con respecto a un cierto orden ≤ si induce ≤ como su orden de especialización y tiene la propiedad anterior de inaccesibilidad con respecto al suprema (existente) de conjuntos dirigidos en ≤.
Topologías en pedidos
El orden de especialización proporciona una herramienta para obtener un preorden de cada topología. Es natural preguntar también lo contrario: ¿cada preorden se obtiene como preorden de especialización de alguna topología?
De hecho, la respuesta a esta pregunta es positiva y, en general, hay muchas topologías en un conjunto X que inducen un orden dado ≤ como su orden de especialización. La topología de Alexandroff del orden ≤ juega un papel especial: es la topología más fina que induce ≤. El otro extremo, la topología más burda que induce ≤, es la topología superior , la topología mínima dentro de la cual todos los complementos de los conjuntos ↓ x (para algunos x en X ) están abiertos.
También hay topologías interesantes entre estos dos extremos. La topología sobria más fina que es coherente con el orden en el sentido anterior para un orden dado ≤ es la topología de Scott . Sin embargo, la topología superior sigue siendo la topología coherente de orden más sobria. De hecho, sus conjuntos abiertos son incluso inaccesibles para cualquier supremo. Por lo tanto, cualquier espacio sobrio con un orden de especialización ≤ es más fino que la topología superior y más tosco que la topología de Scott. Sin embargo, tal espacio puede dejar de existir, es decir, existen órdenes parciales para los que no existe una topología consistente de orden sobria. Especialmente, la topología de Scott no es necesariamente sobria.
Referencias
- MM Bonsangue, Topological Duality in Semantics , volumen 8 de Electronic Notes in Theoretical Computer Science , 1998. Versión revisada del Ph.D. del autor. tesis. Disponible en línea , ver especialmente el Capítulo 5, que explica las motivaciones desde el punto de vista de la semántica denotacional en la informática. Consulte también la página de inicio del autor .
- ^ Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag
- ^ Hochster, Melvin (1969), Estructura ideal primaria en anillos conmutativos (PDF) , 142 , Trans. Amer. Matemáticas. Soc., Págs. 43–60