En matemáticas , la topología de puntos particular (o topología de puntos incluida ) es una topología en la que un conjunto está abierto si contiene un punto particular del espacio topológico . Formalmente, dejar que X cualquier conjunto y p ∈ X . La colección
de subconjuntos de X es la topología punto determinado de X . Hay una variedad de casos que se nombran individualmente:
- Si X tiene dos puntos, la topología de puntos particular en X es el espacio de Sierpiński .
- Si X es finito (con al menos 3 puntos), la topología en X se denomina topología de punto particular finito .
- Si X es infinito numerable , la topología de X se denomina topología de punto particular numerable .
- Si X es incontable , la topología en X se denomina topología de puntos particular incontable .
Una generalización de la topología de puntos particular es la topología de extensión cerrada . En el caso de que X \ { p } tenga la topología discreta , la topología de extensión cerrada es la misma que la topología de puntos particular.
Esta topología se utiliza para proporcionar ejemplos y contraejemplos interesantes.
Propiedades
- Los conjuntos cerrados tienen interior vacío
- Dado un conjunto abierto no vacío cada es un punto límite de A . Entonces, el cierre de cualquier set abierto que no sea es . Ningún conjunto cerrado que no sea contiene p, por lo que el interior de cada conjunto cerrado que no sea es .
Propiedades de conectividad
- Ruta y conectado localmente pero no conectado al arco
Para cualquier x , y ∈ X , la función f : [0, 1] → X dada por
es un camino. Sin embargo, dado que p es abierto, la preimagen de p bajo una inyección continua de [0,1] sería un solo punto abierto de [0,1], lo cual es una contradicción.
- Punto de dispersión, ejemplo de un conjunto con
- p es un punto de dispersión para X . Es decir, X \ { p } está totalmente desconectado .
- Hiperconectado pero no ultraconectado
- Todo conjunto abierto no vacío contiene p y, por tanto, X está hiperconectado . Pero si a y b están en X de manera que p , a y b son tres puntos distintos, entonces { a } y { b } son conjuntos cerrados disjuntos y, por lo tanto, X no está ultraconectado . Tenga en cuenta que si X es el espacio de Sierpiński, entonces no existen tales a y b y X está de hecho ultraconectado.
Propiedades de compacidad
- Compacto solo si es finito. Lindelöf solo si es contable.
- Si X es finito, es compacto ; y si X es infinito, no es compacto, ya que la familia de todos los conjuntos abiertos forma una cubierta abierta sin subcubierta finita.
- Por razones similares, si X es contable, es un espacio de Lindelöf ; y si X es incontable, no es Lindelöf.
- Cierre de compacto no compacto
- El conjunto { p } es compacto. Sin embargo, su cierre (el cierre de un conjunto compacto) es todo el espacio X , y si X es infinito, este no es compacto. Por razones similares, si X es incontable, tenemos un ejemplo en el que el cierre de un conjunto compacto no es un espacio de Lindelöf.
- Pseudocompacto pero no débilmente compacta
- Primero, no hay conjuntos abiertos no vacíos disjuntos (ya que todos los conjuntos abiertos contienen p ). Por tanto, toda función continua de la línea real debe ser constante y, por tanto, acotada, lo que demuestra que X es un espacio pseudocompacto . Cualquier conjunto que no contenga p no tiene un punto límite, por lo tanto, si X es infinito, no es débilmente contable compacto .
- Localmente compacto pero no localmente relativamente compacto.
- Si , luego el set es una vecindad compacta de x . Sin embargo, el cierre de esta vecindad es todo X y, por lo tanto, si X es infinito, x no tiene una vecindad compacta cerrada y X no es relativamente compacta a nivel local .
- Puntos de acumulación de conjuntos
- Si no contiene p , Y no tiene punto de acumulación (porque Y es cerrado en X y discreto en la topología del subespacio).
- Si contiene p , cada punto es un punto de acumulación de Y , ya que (el barrio más pequeño de ) Se reúne Y . Y no tiene un punto de acumulación ω . Tenga en cuenta que p no es un punto de acumulación de cualquier conjunto, ya que está aislado en X .
- Punto de acumulación como conjunto pero no como secuencia
- Tomar una secuencia de elementos distintos que también contiene p . El conjunto subyacente tiene alguna como punto de acumulación. Sin embargo, la secuencia en sí no tiene un punto de acumulación como secuencia , ya que el vecindario de cualquier y no puede contener infinitos de los distintos .
- T 0
- X es T 0 (ya que { x , p } está abierto para cada x ) pero no satisface axiomas de separación más altos (porque todos los conjuntos abiertos no vacíos deben contener p ).
- Irregular
- Dado que todo conjunto abierto no vacío contiene p , ningún conjunto cerrado que no contenga p (como X \ { p }) puede separarse por vecindades de { p }, y por lo tanto X no es regular . Dado que la regularidad completa implica regularidad, X no es completamente regular.
- No es normal
- Dado que cada conjunto abierto no vacío contiene p , ningún conjunto cerrado no vacío puede separarse por vecindades entre sí y, por lo tanto, X no es normal . Excepción: la topología de Sierpiński es normal, e incluso completamente normal, ya que no contiene conjuntos separados no triviales.
- Posibilidad de separación
- { p } es denso y, por tanto, X es un espacio separable . Sin embargo, si X es incontable, entonces X \ { p } no es separable. Este es un ejemplo de un subespacio de un espacio separable que no es separable.
- Contabilidad (primero pero no segundo)
- Si X es incontable, entonces X es primero contable pero no segundo contable .
- Comparable (topologías homeomórficas en el mismo conjunto que no son comparables)
- Dejar con . Dejar y . Es decir, t q es la topología puntual particular en X, siendo q el punto distinguido. Entonces ( X , t p ) y ( X , t q ) son topologías homeomórficas incomparables en el mismo conjunto.
- Ningún subconjunto no vacío denso en sí mismo
- Let S un subconjunto no vacío de X . Si S contiene p , entonces p está aislado en S (ya que es un punto aislado de X ). Si S no contiene p , cualquier x en S está aislado en S .
- No es de primera categoría
- Cualquier conjunto que contiene p es denso en X . Por tanto, X no es una unión de subconjuntos densos en ninguna parte .
- Subespacios
- Cada subespacio de un conjunto dada la topología de puntos particular que no contiene el punto particular, hereda la topología discreta.
Ver también
- Topología Alexandrov
- Topología de puntos excluidos
- Espacio topológico finito
- Lista de topologías
- Compactificación de un punto
- Topología de intervalo superpuesto
Referencias
- Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de 1978 ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446