Función de distancia firmada
En matemáticas y sus aplicaciones, la función de distancia con signo (o función de distancia orientada ) de un conjunto Ω en un espacio métrico determina la distancia de un punto dado x desde el límite de Ω, con el signo determinado por si x está en Ω. La función tiene valores positivos en los puntos x dentro de Ω, su valor disminuye a medida que x se acerca al límite de Ω donde la función de distancia con signo es cero, y toma valores negativos fuera de Ω. [1]Sin embargo, a veces también se toma la convención alternativa (es decir, negativo dentro Ω y positivo fuera). [2]
Si Ω es un subconjunto de un espacio métrico , X , con métrica , d , entonces la función de distancia con signo , f , está definida por
donde denota el límite de . Para cualquier ,
Si Ω es un subconjunto del espacio euclidiano R n con un límite suave a trozos , entonces la función de distancia con signo es diferenciable en casi todas partes y su gradiente satisface la ecuación eikonal
Si el límite de Ω es C k para k ≥ 2 (ver Clases de diferenciabilidad ), entonces d es C k en puntos lo suficientemente cerca del límite de Ω. [3] En particular, en el límite f satisface
donde N es el campo vectorial normal hacia adentro. La función de distancia con signo es, por tanto, una extensión diferenciable del campo vectorial normal. En particular, el hessiano de la función de distancia con signo en el límite de Ω da el mapa de Weingarten .
