Representación irreductible
En matemáticas , específicamente en la teoría de la representación de grupos y álgebras , una representación irreducible o irrep de una estructura algebraica es una representación distinta de cero que no tiene una subrepresentación no trivial propia , con cerrado bajo la acción de .
Cada representación unitaria de dimensión finita en un espacio de Hilbert es la suma directa de representaciones irreducibles. Las representaciones irreducibles siempre son indescomponibles (es decir, no pueden descomponerse más en una suma directa de representaciones), pero puede que no se cumpla lo contrario, por ejemplo, la representación bidimensional de los números reales que actúan mediante matrices unipotentes triangulares superiores es indescomponible pero reducible.
La teoría de la representación de grupos fue generalizada por Richard Brauer a partir de la década de 1940 para dar lugar a la teoría de la representación modular , en la que los operadores matriciales actúan sobre un espacio vectorial sobre un campo de características arbitrarias , en lugar de un espacio vectorial sobre el campo de números reales o sobre el campo de números complejos La estructura análoga a una representación irreducible en la teoría resultante es un módulo simple . [ cita requerida ]
Sea una representación, es decir, un homomorfismo de un grupo donde es un espacio vectorial sobre un campo . Si elegimos una base para , se puede considerar como una función (un homomorfismo) de un grupo a un conjunto de matrices invertibles y en este contexto se denomina representación matricial . Sin embargo, simplifica mucho las cosas si pensamos en el espacio sin base.
