¿Cada entrada (aparte de 1) del triángulo de Pascal aparece menos de N veces para alguna N constante ?
La conjetura de Singmaster es una conjetura de la teoría combinatoria de números en matemáticas , que lleva el nombre del matemático británico David Singmaster, quien la propuso en 1971. Dice que hay un límite superior finito en las multiplicidades de entradas en el triángulo de Pascal (aparte del número 1, que aparece infinitamente muchas veces). Está claro que el único número que aparece infinitamente muchas veces en el triángulo de Pascal es 1, porque cualquier otro número x solo puede aparecer dentro de las primeras x + 1 filas del triángulo.
Declaración
Sea N ( a ) el número de veces que aparece el número a > 1 en el triángulo de Pascal. En notación O grande , la conjetura es:
Límite conocido
Singmaster (1971) demostró que
Abbot, Erdős y Hanson (1974) (ver Referencias ) refinaron la estimación para:
El límite (incondicional) mejor conocido actualmente es
y se debe a Kane (2007). Abbot, Erdős y Hanson señalan que condicional a la conjetura de Cramér sobre los espacios entre primos consecutivos que
sostiene para cada .
Singmaster (1975) demostró que la ecuación diofántica
tiene infinitas soluciones para las dos variables n , k . De ello se deduce que hay infinitas entradas triangulares de multiplicidad de al menos 6: Para cualquier i no negativo , un número a con seis apariciones en el triángulo de Pascal viene dado por cualquiera de las dos expresiones anteriores con
donde F j es el j- ésimo número de Fibonacci (indexado según la convención de que F 0 = 0 y F 1 = 1). Las dos expresiones anteriores ubican dos de las apariencias; otros dos aparecen simétricamente en el triángulo con respecto a esos dos; y las otras dos apariciones están en y
Ejemplos elementales
- 2 aparece solo una vez; todos los números enteros positivos mayores aparecen más de una vez;
- 3, 4, 5 aparecen cada uno dos veces; infinitos aparecen exactamente dos veces;
- todos los números primos impares aparecen dos veces;
- 6 aparece tres veces, al igual que un número infinito de números;
- todos los números del formulario para prima cuatro veces;
- Infinitos aparecen exactamente seis veces, incluyendo cada uno de los siguientes:
- El siguiente número en la familia infinita de Singmaster, y el siguiente número más pequeño que se sabe que ocurre seis o más veces, es :
- El número más pequeño que aparece ocho veces (de hecho, el único número que se sabe que aparece ocho veces) es 3003, que también es miembro de la familia infinita de números de Singmaster con una multiplicidad de al menos 6:
El número de veces que n aparece en el triángulo de Pascal es
- ∞, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 6, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, ... (secuencia A003016 en la OEIS )
Según Abbott, Erdős y Hanson (1974), el número de enteros no mayores que x que aparecen más del doble en el triángulo de Pascal es O ( x 1/2 ).
El número natural más pequeño (por encima de 1) que aparece (al menos) n veces en el triángulo de Pascal es
Los números que aparecen al menos cinco veces en el triángulo de Pascal son
- 1, 120, 210, 1540, 3003, 7140, 11628, 24310, 61218182743304701891431482520, ... (secuencia A003015 en la OEIS )
De estos, los de la familia infinita de Singmaster son
Preguntas abiertas
No se sabe si algún número aparece más de ocho veces, ni si algún número además de 3003 aparece tantas veces. El límite superior finito conjeturado podría ser tan pequeño como 8, pero Singmaster pensó que podría ser 10 o 12.
¿Aparecen números exactamente cinco o siete veces? A partir de una secuencia relacionada (secuencia A003015 en la OEIS ) parecería que nadie sabe si la ecuación N ( a ) = 5 puede resolverse para a . También se desconoce si hay algún número que aparezca siete veces.
Ver también
Referencias
- Singmaster, D. (1971), "Problemas de investigación: ¿Con qué frecuencia ocurre un número entero como un coeficiente binomial?", American Mathematical Monthly , 78 (4): 385–386, doi : 10.2307 / 2316907 , JSTOR 2316907 , MR 1536288.
- Singmaster, D. (1975), "Coeficientes binomiales repetidos y números de Fibonacci" (PDF) , Fibonacci Quarterly , 13 (4): 295-298, MR 0412095.
- Abbott, HL; Erdős, P .; Hanson, D. (1974), "Sobre el número de veces que un número entero aparece como un coeficiente binomial", American Mathematical Monthly , 81 (3): 256-261, doi : 10.2307 / 2319526 , JSTOR 2319526 , MR 0335283.
- Kane, Daniel M. (2007), "Límites mejorados en el número de formas de expresar t como un coeficiente binomial" (PDF) , INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory , 7 : # A53, MR 2373115.