- Para el camino de montaña escocés en Glencoe, vea Aonach Eagach .
En matemáticas , se dice que una función f de valor real en el intervalo [ a , b ] es singular si tiene las siguientes propiedades:
- f es continua en [ a , b ]. (**)
- existe un conjunto N de medida 0 tal que para todo x fuera de N la derivada f ′ ( x ) existe y es cero, es decir, la derivada de f desaparece casi en todas partes .
- f no es constante en [ a , b ].
Un ejemplo estándar de una función singular es la función de Cantor , que a veces se llama la escalera del diablo (un término que también se usa para funciones singulares en general). Sin embargo, hay otras funciones a las que se les ha dado ese nombre. Uno se define en términos del mapa circular .
Si f ( x ) = 0 para todo x ≤ una y f ( x ) = 1 para todos x ≥ b , entonces la función puede ser tomado para representar una función de distribución acumulativa para una variable aleatoria que no es ni una variable aleatoria discreta (desde la probabilidad es cero para cada punto) ni una variable aleatoria absolutamente continua (ya que la densidad de probabilidad es cero en todos los lugares donde existe).
Las funciones singulares ocurren, por ejemplo, como secuencias de fases o estructuras moduladas espacialmente en sólidos e imanes , descritas de manera prototípica por el modelo Frenkel-Kontorova y por el modelo ANNNI , así como en algunos sistemas dinámicos . Quizás lo más famoso es que se encuentran en el centro del efecto Hall cuántico fraccional .
Al referirse a funciones con singularidad
Cuando se habla de análisis matemático en general, o más específicamente análisis real o análisis complejo o ecuaciones diferenciales , es común que una función que contiene una singularidad matemática se denomine "función singular". Esto es especialmente cierto cuando se refiere a funciones que divergen hasta el infinito en un punto o en un límite. Por ejemplo, se podría decir, " 1 / x se vuelve singular en el origen, por lo que 1 / x es una función singular".
Se han desarrollado técnicas avanzadas para trabajar con funciones que contienen singularidades en la asignatura denominada análisis distribucional o de funciones generalizadas . Se define una derivada débil que permite utilizar funciones singulares en ecuaciones diferenciales parciales , etc.
Ver también
Referencias
(**) Esta condición depende de las referencias [1]
- ^ "Función singular" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Lebesgue, H. (1955-1961), Teoría de funciones de una variable real , F. Ungar
- Halmos, PR (1950), teoría de la medida , v. Nostrand
- Royden, HL (1988), Análisis real , Prentice-Hall, Englewood Cliffs, Nueva Jersey
- Lebesgue, H. (1928), Leçons sur l'integration et la récherche des fonctions primitives , Gauthier-Villars