Perturbación singular

---

En matemáticas , un problema de perturbación singular es un problema que contiene un parámetro pequeño que no se puede aproximar estableciendo el valor del parámetro en cero. Más precisamente, la solución no se puede aproximar uniformemente mediante una expansión asintótica

como _ Aquí está el pequeño parámetro del problema y son una secuencia de funciones de orden creciente, como . Esto contrasta con los problemas de perturbaciones regulares , para los cuales se puede obtener una aproximación uniforme de esta forma. Los problemas singularmente perturbados se caracterizan generalmente por una dinámica que opera en múltiples escalas. Varias clases de perturbaciones singulares se describen a continuación.${\ estilo de visualización \ varepsilon \ a 0}$${\ estilo de visualización \ varepsilon}$${\displaystyle \delta _{n}(\varepsilon )}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \delta _{n}(\varepsilon )=\varepsilon ^{n}}$

El término "perturbación singular" fue acuñado en la década de 1940 por Kurt Otto Friedrichs y Wolfgang R. Wasow . ^[1]

Un problema perturbado cuya solución se puede aproximar en todo el dominio del problema, ya sea en el espacio o en el tiempo, mediante una sola expansión asintótica tiene una perturbación regular . La mayoría de las veces en las aplicaciones, se encuentra una aproximación aceptable a un problema regularmente perturbado simplemente reemplazando el parámetro pequeño por cero en todas partes del enunciado del problema. Esto corresponde a tomar solo el primer término de la expansión, dando una aproximación que converge, quizás lentamente, a la verdadera solución como${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$disminuye La solución a un problema singularmente perturbado no se puede aproximar de esta manera: como se ve en los ejemplos a continuación, una perturbación singular generalmente ocurre cuando el parámetro pequeño de un problema multiplica su operador más alto. Por lo tanto, tomar ingenuamente el parámetro como cero cambia la naturaleza misma del problema. En el caso de las ecuaciones diferenciales, no se pueden satisfacer las condiciones de contorno; en las ecuaciones algebraicas, el número posible de soluciones se reduce.

La teoría de perturbaciones singulares es un área rica y continua de exploración para matemáticos, físicos y otros investigadores. Los métodos utilizados para abordar los problemas en este campo son muchos. Los más básicos incluyen el método de expansiones asintóticas combinadas y la aproximación WKB para problemas espaciales y, en el tiempo, el método de Poincaré-Lindstedt , el método de escalas múltiples y el promedio periódico . Los métodos numéricos para resolver problemas de perturbaciones singulares también son muy populares. ^[2]

Para libros sobre perturbaciones singulares en ODE y PDE, consulte, por ejemplo, Holmes, Introducción a los métodos de perturbación , ^[3] Hinch, Métodos de perturbación ^[4] o Bender y Orszag , Métodos matemáticos avanzados para científicos e ingenieros . ^[5]

---