Análisis de múltiples escalas
En matemáticas y física , el análisis de múltiples escalas (también llamado método de múltiples escalas ) comprende técnicas utilizadas para construir aproximaciones uniformemente válidas a las soluciones de problemas de perturbación , tanto para valores pequeños como grandes de las variables independientes . Esto se hace introduciendo variables de escala rápida y escala lenta para una variable independiente y, posteriormente, tratando estas variables, rápidas y lentas, como si fueran independientes. En el proceso de solución del problema de perturbación posterior, la libertad adicional resultante, introducida por las nuevas variables independientes, se utiliza para eliminar términos seculares (no deseados).. Este último impone restricciones a la solución aproximada, que se denominan condiciones de solución .
La investigación matemática de aproximadamente la década de 1980 propone que las transformaciones coordinadas y las variedades invariantes brindan un soporte más sólido para el modelado multiescala (por ejemplo, consulte la variedad central y la variedad lenta ).
Como ejemplo del método de análisis de múltiples escalas, considere la ecuación de Duffing no amortiguada y no forzada : [1]
que es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden que describe un oscilador no lineal . Se busca una solución y ( t ) para valores pequeños del parámetro de no linealidad (positivo) 0 < ε ≪ 1. Se sabe que la ecuación de Duffing no amortiguada es un sistema hamiltoniano :
con q = y ( t ) y p = dy / dt . En consecuencia, el hamiltoniano H ( p , q ) es una cantidad conservada, una constante, igual a H = ½ + ¼ ε para las condiciones iniciales dadas . Esto implica que tanto y como dy / dt tienen que estar acotados:
Un enfoque regular de serie de perturbaciones para el problema procede escribiendo y sustituyendo esto en la ecuación de Duffing no amortiguada. Emparejando potencias de da el sistema de ecuaciones
