Condición de Slater

En matemáticas , la condición de Slater (o condición de Slater ) es una condición suficiente para que la dualidad fuerte se mantenga en un problema de optimización convexa , llamado así por Morton L. Slater. ^{[1] De manera} informal, la condición de Slater establece que la región factible debe tener un punto interior (ver detalles técnicos a continuación).

La condición de Slater es un ejemplo específico de calificación de restricción . ^[2] En particular, si la condición de Slater se cumple para el problema primario , entonces la brecha de dualidad es 0, y si el valor dual es finito, entonces se logra. ^[3]

Formulación

Considere el problema de optimización

${\displaystyle {\text{Minimize }}\;f_{0}(x)}$

${\displaystyle {\text{subject to: }}\ }$

${\displaystyle f_{i}(x)\leq 0,i=1,\ldots ,m}$

${\displaystyle Ax=b}$

donde ${\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{m}}$son funciones convexas . Esta es una instancia de programación convexa .

En palabras, la condición de Slater para la programación convexa establece que la dualidad fuerte se mantiene si existe un ${\displaystyle x^{*}}$ tal que ${\displaystyle x^{*}}$es estrictamente factible (es decir, se satisfacen todas las restricciones y las restricciones no lineales se satisfacen con desigualdades estrictas).

Matemáticamente, la condición de Slater establece que la dualidad fuerte se mantiene si existe un ${\displaystyle x^{*}\in \operatorname {relint} (D)}$(donde relint denota el interior relativo del conjunto convexo${\displaystyle D:=\cap _{i=0}^{m}\operatorname {dom} (f_{i})}$) tal que

${\displaystyle f_{i}(x^{*})<0,i=1,\ldots ,m,}$ (las restricciones convexas, no lineales)

${\displaystyle Ax^{*}=b.\,}$^[4]

Desigualdades generalizadas

Dado el problema

${\displaystyle {\text{Minimize }}\;f_{0}(x)}$

${\displaystyle {\text{subject to: }}\ }$

${\displaystyle f_{i}(x)\leq _{K_{i}}0,i=1,\ldots ,m}$

${\displaystyle Ax=b}$

donde ${\displaystyle f_{0}}$ es convexo y ${\displaystyle f_{i}}$ es ${\displaystyle K_{i}}$-convexo para cada uno ${\displaystyle i}$. Entonces la condición de Slater dice que si existe un${\displaystyle x^{*}\in \operatorname {relint} (D)}$ tal que

${\displaystyle f_{i}(x^{*})<_{K_{i}}0,i=1,\ldots ,m}$ y

${\displaystyle Ax^{*}=b}$

entonces se mantiene una fuerte dualidad. ^[4]

Referencias

1. Slater, Morton (1950). Multiplicadores de Lagrange revisados (PDF) . Documento de debate núm. 403 de la Comisión Cowles (Informe).Reimpreso en Giorgi, Giorgio; Kjeldsen, Tinne Hoff, eds. (2014). Rastros y aparición de la programación no lineal . Basilea: Birkhäuser. págs. 293-306. ISBN 978-3-0348-0438-7.
2. Takayama, Akira (1985). Economía matemática . Nueva York: Cambridge University Press. págs.  66–76 . ISBN 0-521-25707-7.
3. Borwein, Jonathan; Lewis, Adrian (2006). Análisis convexo y optimización no lineal: teoría y ejemplos (2ª ed.). Saltador. ISBN 0-387-29570-4.
4. Boyd, Stephen; Vandenberghe, Lieven (2004). Optimización convexa (pdf) . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN  978-0-521-83378-3. Consultado el 3 de octubre de 2011 .