Teoría del cuerpo delgado

En dinámica de fluidos y electrostática , la teoría de cuerpos esbeltos es una metodología que se puede utilizar para aprovechar la esbeltez de un cuerpo para obtener una aproximación a un campo que lo rodea y / o el efecto neto del campo en el cuerpo. Las aplicaciones principales son el flujo de Stokes (con números de Reynolds muy bajos ) y la electrostática .

Teoría del flujo de Stokes

Considere un cuerpo delgado de longitud y diámetro típico con , rodeado por un fluido de viscosidad cuyo movimiento se rige por las ecuaciones de Stokes . Tenga en cuenta que la paradoja de Stokes implica que el límite de la relación de aspecto infinita es singular, ya que no puede existir ningún flujo de Stokes alrededor de un cilindro infinito.${\displaystyle \ell }$${\displaystyle 2a}$${\displaystyle \ell \gg a}$ ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \ell /a\rightarrow \infty }$

La teoría del cuerpo delgado nos permite derivar una relación aproximada entre la velocidad del cuerpo en cada punto a lo largo de su longitud y la fuerza por unidad de longitud experimentada por el cuerpo en ese punto.

Sea el eje del cuerpo descrito por , donde es una coordenada de longitud de arco y es tiempo. En virtud de la esbeltez del cuerpo, la fuerza ejercida sobre el fluido en la superficie del cuerpo puede aproximarse mediante una distribución de Stokeslets a lo largo del eje con densidad de fuerza por unidad de longitud. se supone que varía solo en longitudes mucho mayores que , y la velocidad del fluido en la superficie adyacente a está bien aproximada por .${\displaystyle {\boldsymbol {X}}(s,t)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$${\displaystyle {\boldsymbol {f}}(s)}$${\displaystyle {\boldsymbol {f}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle {\boldsymbol {X}}(s,t)}$${\displaystyle \partial {\boldsymbol {X}}/\partial t}$

La velocidad del fluido en un punto general debido a tal distribución se puede escribir en términos de una integral del tensor de Oseen (llamado así por Carl Wilhelm Oseen ), que actúa como una función de Greens para un solo Stokeslet. Tenemos${\displaystyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})}$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})=\int _{0}^{\ell }{\frac {{\boldsymbol {f}}(s)}{8\pi \mu }}\cdot \left({\frac {\mathbf {I} }{|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {X}}|}}+{\frac {({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {X}})({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {X}})}{|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {X}}|^{3}}}\right)\,\mathrm {d} s}$

donde está el tensor de identidad.${\displaystyle \mathbf {I} }$

El análisis asintótico se puede utilizar para mostrar que la contribución del orden principal a la integral de un punto en la superficie del cuerpo adyacente a la posición proviene de la distribución de fuerza en . Dado que , nos aproximamos . Entonces obtenemos${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$${\displaystyle s_{0}}$${\displaystyle |s-s_{0}|=O(a)}$${\displaystyle a\ll \ell }$${\displaystyle {\boldsymbol {f}}(s)\approx {\boldsymbol {f}}(s_{0})}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {X}}}{\partial t}}\sim {\frac {\ln(\ell /a)}{4\pi \mu }}{\boldsymbol {f}}(s)\cdot {\Bigl (}\mathbf {I} +{\boldsymbol {X}}'{\boldsymbol {X}}'{\Bigr )}}$

donde .${\displaystyle {\boldsymbol {X}}'=\partial {\boldsymbol {X}}/\partial s}$

La expresión se puede invertir para dar la densidad de fuerza en términos del movimiento del cuerpo:

${\displaystyle {\boldsymbol {f}}(s)\sim {\frac {4\pi \mu }{\ln(\ell /a)}}{\frac {\partial {\boldsymbol {X}}}{\partial t}}\cdot {\Bigl (}\mathbf {I} -\textstyle {\frac {1}{2}}{\boldsymbol {X}}'{\boldsymbol {X}}'{\Bigr )}}$

Los dos resultados canónicos que siguen inmediatamente son para la fuerza de arrastre sobre un cilindro rígido (longitud , radio ) que se mueve a una velocidad paralela a su eje o perpendicular a él. El caso paralelo da${\displaystyle F}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle a}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle F\sim {\frac {2\pi \mu \ell u}{\ln(\ell /a)}}}$

mientras que el caso perpendicular da

${\displaystyle F\sim {\frac {4\pi \mu \ell u}{\ln(\ell /a)}}}$

con solo un factor de dos de diferencia.

Tenga en cuenta que la escala de longitud dominante en las expresiones anteriores es la longitud más larga ; la longitud más corta tiene solo un efecto débil a través del logaritmo de la relación de aspecto. En los resultados de la teoría de cuerpos esbeltos, hay correcciones en el logaritmo, por lo que incluso para valores relativamente grandes de los términos de error no serán tan pequeños.${\displaystyle \ell }$${\displaystyle O(1)}$${\displaystyle \ell /a}$

Referencias

• Batchelor, GK (1970), "Teoría del cuerpo delgado para partículas de sección transversal arbitraria en el flujo de Stokes", J. Fluid Mech. , 44 (3): 419–440, Bibcode : 1970JFM .... 44..419B , doi : 10.1017 / S002211207000191X
• Cox, RG (1970), "El movimiento de cuerpos largos y delgados en un fluido viscoso. Parte 1. Teoría general", J. Fluid Mech. , 44 (4): 791–810, Bibcode : 1970JFM .... 44..791C , doi : 10.1017 / S002211207000215X
• Hinch, EJ (1991), Métodos de perturbación , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-37897-0