Sub-colector
En matemáticas , una subvariedad de una variedad M es un subconjunto S que en sí mismo tiene la estructura de una variedad, y para el cual el mapa de inclusión S → M satisface ciertas propiedades. Existen diferentes tipos de subvariedades según exactamente qué propiedades se requieran. Los diferentes autores a menudo tienen diferentes definiciones.
A continuación, asumimos que todas las variedades son variedades diferenciables de clase C r para un r fijo ≥ 1 , y todos los morfismos son diferenciables de clase C r .
Una subvariedad sumergida de una variedad M es la imagen S de un mapa de inmersión f : N → M ; en general, esta imagen no será una subvariedad como un subconjunto, y un mapa de inmersión ni siquiera necesita ser inyectivo (uno a uno); puede tener autointersecciones. [1]
Más concretamente, se puede requerir que el mapa f : N → M sea una inyección (uno a uno), en la que lo llamamos inmersión inyectiva , y definir una subvariedad sumergida para que sea el subconjunto de imágenes S junto con una topología y estructura diferencial tal que S es una variedad y la inclusión f es un difeomorfismo : esta es solo la topología en N, que en general no concuerda con la topología del subconjunto: en general, el subconjunto S no es una subvariedad de M, en la topología de subconjunto.
Dada cualquier inmersión inyectiva f : N → M , a la imagen de N en M se le puede dar únicamente la estructura de una subvariedad sumergida de modo que f : N → f ( N ) es un difeomorfismo . De ello se deduce que las subvariedades sumergidas son precisamente las imágenes de inmersiones inyectivas.
La topología de subvariedades en una subvarietal sumergida no necesita ser la topología relativa heredada de M. En general, será más fino que la topología del subespacio (es decir, tendrá más conjuntos abiertos ).
