En análisis matemático , la suavidad de una función es una propiedad que se mide por el número de derivadas continuas que tiene en algún dominio. [1] [2] Como mínimo, una función podría considerarse "suave" si es diferenciable en todas partes (por lo tanto, continua). [3] En el otro extremo, también podría poseer derivadas de todos los órdenes en su dominio , en cuyo caso se dice que es infinitamente diferenciable y se denomina función C-infinito (ofunción). [4]
Clases de diferenciabilidad
La clase de diferenciabilidad es una clasificación de funciones según las propiedades de sus derivadas . Es una medida del orden de derivada más alto que existe para una función.
Considere un conjunto abierto en la línea real y una función f definida en ese conjunto con valores reales. Sea k un número entero no negativo . Se dice que la función f es de (diferenciabilidad) clase C k si las derivadas f ′, f ″, ..., f ( k ) existen y son continuas . Se dice que la función f es infinitamente diferenciable , suave o de clase C ∞ , si tiene derivadas de todos los órdenes. [5] Se dice que la función f es de clase C ω , o analítica , si f es suave y si su expansión de la serie de Taylor alrededor de cualquier punto de su dominio converge con la función en alguna vecindad del punto. Por tanto, C ω está estrictamente contenido en C ∞ . Las funciones de relieve son ejemplos de funciones en C ∞ pero no en C ω .
Para decirlo de otra manera, la clase C 0 consta de todas las funciones continuas. La clase C 1 consta de todas las funciones diferenciables cuya derivada es continua; tales funciones se denominan continuamente diferenciables . Así, una función C 1 es exactamente una función cuya derivada existe y es de clase C 0 . En general, las clases C k pueden definirse de forma recursiva declarando C 0 como el conjunto de todas las funciones continuas y declarando C k para cualquier entero positivo k como el conjunto de todas las funciones diferenciables cuya derivada está en C k −1 . En particular, C k está contenido en C k −1 para cada k > 0, y hay ejemplos que muestran que esta contención es estricta ( C k ⊊ C k −1 ). La clase C ∞ de funciones infinitamente diferenciables, es la intersección de las clases C k cuando k varía sobre los enteros no negativos.
Ejemplos de
La función
es continuo, pero no diferenciable en x = 0 , por lo que es de clase C 0 , pero no de clase C 1 .
La función
es diferenciable, con derivada
Porque oscila cuando x → 0,no es continuo en cero. Por lo tanto,es diferenciable pero no de clase C 1 . Además, si uno toma ( x ≠ 0) en este ejemplo, se puede usar para mostrar que la función derivada de una función diferenciable puede ser ilimitada en un conjunto compacto y, por lo tanto, que una función diferenciable en un conjunto compacto puede no ser localmente continua de Lipschitz .
Las funciones
donde k es par, son continuas y k veces diferenciables en todo x . Pero en x = 0 no son ( k + 1) veces diferenciables, por lo que son de clase C k , pero no de clase C j donde j > k .
La función exponencial es analítica y, por tanto, entra en la clase C ω . Las funciones trigonométricas también son analíticas dondequiera que se definan.
es suave, entonces de clase C ∞ , pero no es analítico en x = ± 1 , y por lo tanto no es de clase C ω . La función f es un ejemplo de función suave con soporte compacto .
Clases de diferenciabilidad multivariante
Una función definido en un conjunto abierto de se dice que [6] es de clase en , para un entero positivo , si todas las derivadas parciales
existen y son continuos, para cada enteros no negativos, tales que , y cada . Equivalentemente, es de clase en Si el -th orden Fréchet derivado de existe y es continuo en cada punto de . La función se dice que es de clase o si es continuo .
Una función , definido en un conjunto abierto de , se dice que es de clase en , para un entero positivo , si todos sus componentes
son de clase , dónde son las proyecciones naturales definido por . Se dice que es de clase o si es continuo, o de manera equivalente, si todos los componentes son continuos, en .
El espacio de C k funciones
Sea D un subconjunto abierto de la línea real. El conjunto de todas las funciones de valor real C k definidas en D es un espacio vectorial de Fréchet , con la familia contable de seminormas
donde K varía en una secuencia creciente de conjuntos compactos cuya unión es D , ym = 0, 1, ..., k .
El conjunto de funciones C ∞ sobre D también forma un espacio de Fréchet. Uno usa las mismas seminormas que arriba, excepto que se permite que m se extienda sobre todos los valores enteros no negativos.
Los espacios anteriores ocurren naturalmente en aplicaciones donde son necesarias funciones que tienen derivadas de ciertos órdenes; sin embargo, particularmente en el estudio de ecuaciones diferenciales parciales , a veces puede ser más fructífero trabajar en cambio con los espacios de Sobolev .
Continuidad paramétrica
Los términos continuidad paramétrica y continuidad geométrica ( G n ) fueron introducidos por Brian Barsky , para mostrar que la suavidad de una curva podría medirse eliminando las restricciones sobre la velocidad , con la que el parámetro traza la curva. [7] [8] [9]
La continuidad paramétrica es un concepto aplicado a las curvas paramétricas , que describe la suavidad del valor del parámetro con la distancia a lo largo de la curva.
Definición
Una curva (paramétrica) se dice que es de clase C k , si existe y es continuo en , donde las derivadas en los puntos finales se toman como derivadas unilaterales (es decir, en desde la derecha, y en desde la izquierda).
Como aplicación práctica de este concepto, una curva que describe el movimiento de un objeto con un parámetro de tiempo debe tener continuidad C 1 , para que el objeto tenga aceleración finita. Para un movimiento más suave, como el de la trayectoria de una cámara mientras se hace una película, se requieren órdenes más altos de continuidad paramétrica.
Orden de continuidad
Los distintos órdenes de continuidad paramétrica se pueden describir de la siguiente manera: [10]
- C 0 : las derivadas 0 –th son continuas (las curvas son continuas)
- C 1 : 0 –ésima y primera derivada son continuas
- C 2 : 0 –ésima, primera y segunda derivadas son continuas
- C n : 0 –ésima a n –ésima derivadas son continuas
Continuidad geométrica
El concepto de continuidad geométrica o geométrica se aplicó principalmente a las secciones cónicas (y formas relacionadas) por matemáticos como Leibniz , Kepler y Poncelet . El concepto fue un intento temprano de describir, a través de la geometría en lugar del álgebra, el concepto de continuidad expresado a través de una función paramétrica. [11]
La idea básica detrás de la continuidad geométrica era que las cinco secciones cónicas eran en realidad cinco versiones diferentes de la misma forma. Una elipse tiende a un círculo cuando la excentricidad se acerca a cero, oa una parábola cuando se acerca a uno; y una hipérbola tiende a una parábola cuando la excentricidad desciende hacia una; también puede tender a intersecar las líneas . Así, hubo continuidad entre las secciones cónicas. Estas ideas llevaron a otros conceptos de continuidad. Por ejemplo, si un círculo y una línea recta fueran dos expresiones de la misma forma, tal vez se podría pensar en una línea como un círculo de radio infinito . Para que tal sea el caso, uno tendría que cerrar la línea permitiendo que el punto ser un punto en el círculo, y para y ser idéntico. Tales ideas fueron útiles para elaborar la idea moderna, algebraicamente definida, de la continuidad de una función y de(ver línea real extendida proyectivamente para más información). [11]
Suavidad de curvas y superficies
Una curva o superficie se puede describir como que tiene G n continuidad, siendo n la medida creciente de suavidad. Considere los segmentos a cada lado de un punto en una curva:
- G 0 : Las curvas se tocan en el punto de unión.
- G 1 : Las curvas también comparten una dirección tangente común en el punto de unión.
- G 2 : Las curvas también comparten un centro de curvatura común en el punto de unión.
En general, existe continuidad de G n si las curvas pueden reparametrizarse para tener continuidad C n (paramétrica). [12] [13] Una reparametrización de la curva es geométricamente idéntica a la original; solo el parámetro se ve afectado.
De manera equivalente, dos funciones vectoriales f ( t ) y g ( t ) tienen G n continuidad si f ( n ) ( t ) ≠ 0 y f ( n ) ( t ) ≡ kg ( n ) ( t ) , para un escalar k > 0 (es decir, si la dirección, pero no necesariamente la magnitud, de los dos vectores es igual).
Si bien puede ser obvio que una curva requeriría continuidad G 1 para parecer suave, para una buena estética , como las que se aspiran en la arquitectura y el diseño de autos deportivos , se requieren niveles más altos de continuidad geométrica. Por ejemplo, los reflejos en la carrocería de un automóvil no parecerán suaves a menos que la carrocería tenga continuidad G 2 .
Un rectángulo redondeado (con arcos circulares de noventa grados en las cuatro esquinas) tiene continuidad G 1 , pero no tiene continuidad G 2 . Lo mismo es cierto para un cubo redondeado , con octantes de una esfera en sus esquinas y cuartos de cilindro a lo largo de sus bordes. Si se requiere una curva editable con continuidad G 2 , normalmente se eligen splines cúbicos ; estas curvas se utilizan con frecuencia en el diseño industrial .
Suavidad de curvas y superficies definidas por partes
Otros conceptos
Relación con la analiticidad
Si bien todas las funciones analíticas son "suaves" (es decir, tienen todas las derivadas continuas) en el conjunto en el que son analíticas, ejemplos como las funciones de relieve (mencionadas anteriormente) muestran que lo contrario no es cierto para las funciones en los reales: funciones que no son analíticas. Se pueden hacer ejemplos simples de funciones que son fluidas pero no analíticas en ningún momento mediante series de Fourier ; otro ejemplo es la función Fabius . Aunque pueda parecer que tales funciones son la excepción más que la regla, resulta que las funciones analíticas están muy dispersas entre las suaves; más rigurosamente, las funciones analíticas forman un subconjunto magro de las funciones suaves. Además, para cada subconjunto abierto A de la línea real, existen funciones suaves que son analíticas en A y en ningún otro lugar [ cita requerida ] .
Es útil comparar la situación con la ubicuidad de los números trascendentales en la línea real. Tanto en la línea real como en el conjunto de funciones suaves, los ejemplos que se nos ocurren a primera vista (números algebraicos / racionales y funciones analíticas) se comportan mucho mejor que la mayoría de los casos: los números trascendentales y las funciones analíticas en ninguna parte tienen plena medida. (sus complementos son magros).
La situación así descrita contrasta notablemente con las funciones diferenciables complejas. Si una función compleja es diferenciable sólo una vez en un conjunto abierto, es infinitamente diferenciable y analítica en ese conjunto [ cita requerida ] .
Particiones lisas de la unidad
Las funciones suaves con soporte cerrado dado se utilizan en la construcción de particiones suaves de unidad (ver partición de unidad y glosario de topología ); estos son esenciales en el estudio de variedades suaves , por ejemplo, para mostrar que las métricas de Riemann se pueden definir globalmente a partir de su existencia local. Un caso simple es el de una función de relieve en la línea real, es decir, una función suave f que toma el valor 0 fuera de un intervalo [ a , b ] y tal que
Dado un número de intervalos superpuestos en la línea, se pueden construir funciones de relieve en cada uno de ellos, y en intervalos semi-infinitos (−∞, c ] y [ d , + ∞) para cubrir toda la línea, de modo que la suma de las funciones son siempre 1.
Por lo que se acaba de decir, las particiones de unidad no se aplican a las funciones holomórficas ; su comportamiento diferente en relación con la existencia y la continuación analítica es una de las raíces de la teoría de la gavilla . Por el contrario, los haces de funciones uniformes tienden a no transportar mucha información topológica.
Funciones suaves en y entre colectores
Dado un colector suave , de dimensión m , y un atlas luego un mapa es suave en M si para todos existe un gráfico , tal que y es una función fluida de un vecindario de en a (todas las derivadas parciales hasta un orden dado son continuas). La suavidad se puede verificar con respecto a cualquier gráfico del atlas que contenga p , ya que los requisitos de suavidad en las funciones de transición entre gráficos aseguran que sies suave cerca de p en un gráfico será suave cerca de p en cualquier otro gráfico.
Si es un mapa de a una variedad n- dimensional, entonces F es suave si, para cada hay una tabla que contiene p , y un gráfico conteniendo tal que y es una función fluida de
Los mapas suaves entre variedades inducen mapas lineales entre espacios tangentes : para, en cada punto, el empuje hacia adelante (o diferencial) mapea los vectores tangentes en p a los vectores tangentes en F (p) :, y en el nivel del paquete tangente , el empuje hacia adelante es un homomorfismo de paquete vectorial :. El doble del empuje hacia adelante es el retroceso , que "tira" de las cubiertas de vuelta a covectors en , y k -forma a k- formas:. De esta manera, las funciones suaves entre variedades pueden transportar datos locales , como campos vectoriales y formas diferenciales , de una variedad a otra, o al espacio euclidiano donde se comprenden bien los cálculos como la integración .
Las imágenes previas y los avances a lo largo de funciones suaves no son, en general, múltiples sin suposiciones adicionales. Las preimágenes de puntos regulares (es decir, si el diferencial no desaparece en la preimagen) son múltiples; este es el teorema de la preimagen . De manera similar, los empujes hacia adelante a lo largo de las incrustaciones son múltiples. [14]
Funciones suaves entre subconjuntos de colectores
Existe una noción correspondiente de mapa suave para subconjuntos arbitrarios de variedades. Si f : X → Y es una función cuyo dominio y rango son subconjuntos de variedades X ⊂ M e Y ⊂ N respectivamente. Se dice que f es suave si para todo x ∈ X hay un conjunto abierto U ⊂ M con x ∈ U y una función suave F : U → N tal que F ( p ) = f ( p ) para todo p ∈ U ∩ X .
Ver también
- Función suave no analítica
- Función cuasi analítica
- Singularidad (matemáticas)
- Sinuosidad
- Esquema suave
- Número suave (teoría de números)
- Suavizado
- Ranura
Referencias
- ^ "El glosario definitivo de jerga matemática superior - suave" . Bóveda de matemáticas . 2019-08-01 . Consultado el 13 de diciembre de 2019 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Función suave" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 13 de diciembre de 2019 .
- ^ "Suave (matemáticas)" . TheFreeDictionary.com . Consultado el 13 de diciembre de 2019 .
- ^ "Función suave - Enciclopedia de las matemáticas" . www.encyclopediaofmath.org . Consultado el 13 de diciembre de 2019 .
- ^ Warner, Frank W. (1983). Fundamentos de colectores diferenciables y grupos de mentiras . Saltador. pag. 5 [Definición 1.2]. ISBN 978-0-387-90894-6.
- ^ Henri Cartan (1977). Cours de calcul différentiel . París: Hermann.
- ^ Barsky, Brian A. (1981). Beta-spline: una representación local basada en parámetros de forma y medidas geométricas fundamentales (Ph.D.). Universidad de Utah, Salt Lake City, Utah.
- ^ Brian A. Barsky (1988). Gráficos por ordenador y modelado geométrico mediante beta-splines . Springer-Verlag, Heidelberg. ISBN 978-3-642-72294-3.
- ^ Richard H. Bartels; John C. Beatty; Brian A. Barsky (1987). Introducción a las estrías para su uso en gráficos por computadora y modelado geométrico . Morgan Kaufmann. Capítulo 13. Continuidad paramétrica vs. geométrica. ISBN 978-1-55860-400-1.
- ^ van de Panne, Michiel (1996). "Curvas paramétricas" . Notas en línea de otoño de 1996 . Universidad de Toronto, Canadá.
- ^ a b Taylor, Charles (1911). . En Chisholm, Hugh (ed.). Encyclopædia Britannica . 11 (11ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 674–675.
- ^ Barsky, Brian A .; DeRose, Tony D. (1989). "Continuidad geométrica de curvas paramétricas: tres caracterizaciones equivalentes". Gráficos y aplicaciones informáticos IEEE . 9 (6): 60–68. doi : 10.1109 / 38.41470 . S2CID 17893586 .
- ^ Hartmann, Erich (2003). "Geometría y algoritmos para el diseño asistido por computadora" (PDF) . Technische Universität Darmstadt . pag. 55.
- ^ Guillemin, Victor; Pollack, Alan (1974). Topología diferencial . Acantilados de Englewood: Prentice-Hall. ISBN 0-13-212605-2.